Voľná debata o fyzike

tyso vyssia ti vysla lebo si zanedbal posobenie gravitacie na tom useku tj. mgx, Bohusov vysledok je podla mna spravny.

ano, mas pravdu

K.x.x = m.v,v + 2.mg.x , z toho v = SQRT ( K/m .x.x -2 g.x ) = SQRT( 1000. 0,12.0,12 - 2. 9,81.0,12) = 3,471

OK, na druhy krat potvrdzujem bohusov vysledok

tak to je cez energie, a pomerne jednoduche. Otazka ci to ide inak, napriklad cez sily,

pri stlaceni musi existovat silova rovnovaha, z jednej strany to mame Kx, z druhej mg + d (mv)/ dt , kde rychlost klesala z hladanej v0 na 0, pri rastucej sile.

slovamy jedneho profesora: to su strasne samaniny.

Cez sili mozes vyjadrit pohybovu rovnicu

F=mg-kx , ktorej riesenim dostanes

z x(0)=0

z x(t) mozes urcit rychlost

vies ze v max. vychylke je rychlost 0 (teda vlastne hladas extrem x(t)) z coho dostanes pre t_z

co by bolo treba dosadit do x(t_z)=0.12

z dosadenia by si vyriesil x(t_z)=0.12, dosadis za c_1, dostanes c_2

a potom z v(t) pre t=0 vyplyva

Obrazky z wolframalpha

Tyso

Skúsil som spočítať cez diff rovnicu. (ako si raz povedal, ja větko komplikujem) a vyšla mi hodnota v0 = 3.794733192 m/s. Teda to isté, k čomu si sa dopracoval podstatne jednoduchšie, ako ja. Riešiť to takto má zmysel, ak by niekoho zaujímala rýchlosť v ľubovolnom čase, ale to nebolo zadanie.

Ospravedlňujem sa, neprečítal som si poriadne zadanie, tam ide aj o gravitáciu. No skúsim to spočítať znova!!!!!!!!!

tom, ked si sa dal tu pracu, tak si to mohol aj dosadit :), nech vieme ci si to odvodil spravne. Pretoze omega by malo byt cosi podobne SQRT K/m a nie len K.

aj ked zdialky to vyzera spravne :) ( ale uz som davno neriesil diferencialne rovmice druheho radu)

ja by som len nastavil pociatocne podmienky inak,

rychlost dopadu musi byt to iste ako rychlost odrazu a teda by som zacal v case t = 0, ked je pruzina stlacena, F je potom (F0-mg ) - Kx,

potom riesenie bude v tvare x = C . sin ( omega. t ) , omega je SQRT ( cosi ) ( bez gravitacie by to bolo K/m :) ) , C bude tych 12 centi, derivacia bude cos, keby som teda vedel uhadnut tu omegu, tak to viem vyriesit.

Zaratal som do toho gravitaciu a vyšlo mi toto v0=3.470677167 m/s

Tak a aj je to :D

Az ked som my zahadne vysliel polovicny vysledok som dosiel na dost zavaznu chybu: ja som tu pohybovu rovnicu nevydelil hmotnostou. Tyso nemohol si skor povedat :D

Aj ked konstany som urcil len numericky:

x je vychylka v y-novom smere, kladny smer je 'dole'

Riesenim pohybovej rovnice

md^2x/dt^2=mg-kx

Z pociatocnej podmienky

x(0)=0

dostanem pre c_1:

Derivovanim dx(t)/dt dostanem rychlost pre rychlost:

v(t)=

Z podmienky z pruzinu stlaci o 12 cm, tj. x=.12 => v=0

z v(t_z)=0 urcim cas zastavenia t_z:

Viem ze toto riesenie je spravne lebo c_1 je zaporne a preto ta podmienka plati

dosadim

x(t_z)=.12

a dostanem

c_2=0.109752

Dosadenim konstant do x(t), v(t) viem popisat cely pohyb.

Pre pociatocnu rychlost

v(0)=sqrt(k/m)*c_2=3.47m/s

vysledok je spravny, tak mi prezrad omegu :)

bistu, to som mohol uhadnut :) omega sa nemeni, rychlost kmitania je dana len pruzinou a hmotnostou, gravitacia je de facto predpatie pruziny a teda pojde len o posun

zda sa ze gravitacia prida ten clen mg/k a preto ti nevypadne ten cos podmienkou x(0)=0 a omega zostane ako pri klasickych kmitoch sqrt(k/m).

Klobúk dole, ako ovládate dobre počítanie diferenciálnych rovníc.

Ja teraz v pokročilom veku viem ešte ako tak, že derivácia funkcie x² je 2.x, alebo derivácia e^x je e^x, a to je asi všetko.

Ten príklad som rátal len pomocou energií a dalo mi zabrať, aby som dokázal začleniť do vzorca to spomínané mgx.

Dospel som aj k tomu, že keď sa kocka dotkne pri rýchlosti "v" zhora pružiny, tak napriek stláčaniu pružiny sa ešte asi na pár milimetroch rýchlosť máličko zvýši, a až potom začne klesať k nule.

Ale, keby kocka sa pohybovala smerom k pružine niekde v bezváhovom stave ( napr. v kabíne kozmickej lode na obežnej dráhe okolo Zeme ), tak by rýchlosť kocky klesala okamžite, ako by sa dotkla pružiny. Platil by vzorec bez mgx.

Bohuš

Klobúk dole, ak si to dostal len z energie. Diferenciálne rovnice v klasickej mechanike sú už viac menej iba rutinnou záležitosťou. Je náhoda, že tento príklad má analytické riešenie. Numericky si môžeš vymyslieť čokoľvek, a ak máš dosť počiatočných podmienok, je to len otázka času. Nakreslil som si graf v(t) = f(t) a máš pravdu s tou rýchlosťou na počiatku. Je to paradoxné, ale ešte chvíľu rastie.

tono, to je lahka uvaha, rychlost rastie kym je kladna sila a kedze sila na zavazie je mg-kx , tak az ked bude pruzina bude stlacena na x = mg/k , tak zacne klesat rychlost. ( to je menej ako 1 cm presne 0,981 cm)

A ja som skusil uvazovat ze mozeme pohyb rozdelit na tieto dva useky ale nic rozumne mi z toho nevyslo.

BTW ide o klasicky priklad harmonickeho oscilatora, bezne sa uvazuje bez gravitacie teda pruzina je vodorovne a ide o zakladnu rovnicu fyziky a aj preto si zhruba pamatam riesenie :)

tyso

Ano, cas kým zmení smer rýchlosti je tmax=0.00281904s a vzdialenosť ktorú ešte prejde je ymax=0.00981m. Výhoda matematiky je, že memusím premýšľať :dalbysomsi: .

Zaujímavý príklad je, ak by nebola struna upevnená na podložke, (bola by voľná v priestore) a mala by na jednom konci hmotnosť 0,25kg a na druhom napríklad 1kg. Kocka by narazila do hmotnosti 0,25kg a odovzdala by jej celú hybnosť. Tiež by sa smer rýchlosťi okamžite nezmenil. Súvisí to akôr so zotrvačnosťou, než z gravitáciou. Ak padá takáto sústava, je predsa inerciálna. Trajektórie telies v priestore sú v grafe m=1kg je cervenou, m=0.25kg modrou a, žltou je trajektória ťažiska sústavy. Konce struny v počiatku (v čase nárazu, keď na strunu nepôsobí nijaká sila, voľný pád) vzdialené napríklad 1m.

asi sa hlupo spytam, ale preco ste za konstatntu pruziny zobrali 250?

Rychlejsie teleso stlaci rovnaku pruzinu viac nez pomalsie, rovnakou rychlostou stlaci tvrdsiu pruzinu menej nez maksiu.

Mne sa zda, hmotnost 250g stlaci pruzinu o 12cm pre rozne konfiguracie {v, k}.

Mimochodom, pozrel som sa na výpočty znova a v podstate počiatočná rýchlosť je iba počiatočná podmienka pre kmitanie oscilátora s pevnou frekvenciou. Teda určuje iba fázový posun kmitania. A zvolíš inú hodnotu, môže byť kladný, zaporný, alebo nulový.

pepper nick

konštanta pružiny nemá vplyv na výchylku, ale iba na frekvenciu.

nizsia frekvencia znamena ze pohyblivy koniec pruziny dosahuje nizsiu maximalnu rychlost, pri vyssej frekvencii vyssiu.

Dej v priklade by mal byt vratny - akou rychlostou teleso dopadlo, takou by malo byt vymrstene. predpokladam, ze vymrstenie sa udeje ked sa pruzina o maly kusok natiahne zo svojej kludovej polohy. Ak dej nie je vratny, pociatocnu rychlost ~ kineticku energiu nemozeme pouzit, lebo sa nezachovala.

Ak rychlost dopadnuteho a vymrsteneho telesa zavisi od frekvencie pruziny, tak potom aj od jej konstanty, nie?

pepper nick

Dosadil som inú konštantu k do vzťahu pre výchylku y(t), ktorý som uviedol. Zmenila sa frekvencia, no takmer sa nezmenila výchylka. Neviem fyzikálne prečo? Dosadil som konštantu k=2050 a maximálna výchylka bola namiesto 12cm 11,76 cm, čo pri rádovej zmene k nie je podstatná zmena. Ale to som robil v prvom príklade s pevne ukotvenou pružinou. Neviem teraz, či hovoríme o pevnej, alebo voľnej pružine. Teda o prvom, alebo druhom príklade.

a do vztahu pre rychlost? to ma byt vysledkom prikladu, povedzme ze s pevnym koncom

pepper nick

Energia a vychylka je vypočítaná. Ak je výpočet správny, po dosadení výchylky do rovnice energie musí výjsť energia konštanta pre akýkoľvek čas t. Skús si to, je to zákon zachovania energie. Je to dosť pracné, ale je to po dosadení naozaj konštanta. Inak som rád, že si sa ozval.

v case t1 sa teleso dotklo pruziny: energia telesa = 0.5mv² + mgx, energia pruziny = 0

v case t2 stlacena pruzina zastavila teleso: energia telesa = 0, energia pruziny = 0.5kx²

predpokladame ze energie su rovnake, plati co napisal Tyso:

K.x.x = m.v,v + 2.mg.x , z toho v = SQRT ( K/m .x.x -2 g.x ) = SQRT( 1000. 0,12.0,12 - 2. 9,81.0,12) = 3,471

moja otazka bola jednoduchsia: preco polozil K/m ~ 1000 (resp 1 podla jednotiek pre K)

resp. ako mozes z tvojho vztahu v = -.... vypocitat rychlost ked nepoznas K?

resp. preco k:=250?

o hodinu neskor ....

sorry, som blbec - predchadzajucu stranku som mal otvorenu ako neprihlaseny a tak som nevidel obrazok so zadanim, a myslel som, ze v texte sa opakuju vsetky parametre

pepper nick

Tvoja úvaha je správna. Ak si do rovnice dosadíš čas t=0 (keď sa teleso dotkne pružiny), vyjde ti energia W=1.5057J. Rovnaká energia ti výjde, ak dosadíš v=0 a y(t)=0.12m. To musí platiť pre každé t.

Ja som dufal ze nieco zaujmave vyde ked to spocimam cez Lagrangovu mechaniku a (nie az tak prekvapivo) som sa dostal k tej iste diff. rovnici.

Neviem co sa tym cechom nezda.

Tom

No tak sme to vyriešili a o to ide. Našťastie fyzika je nacionálne irelevantná. Skús im zadať tento príklad s voľnou pružinou v gravitačnom poli a budeme ich testovať my. Ale klasická mechanika je dnes už uzavretá kapitola, ktorá nič prekvapivého nemôže priniesť. (Možno iba pre Bukyho).

No princípy, na ktorých funguje sú dodnes nejasné.

Ja som sa len snazil dojst na to preco sa 'na rieseni nezhodli' co povedal Bohus ked zadal tu ulohu. Ci nenajdem nieco co by ich mohlo zmiast.

myslim ze uz sa zhodli