Pomôžte mi počítať

Bohus, obavam sa, ze mas vo svojej uvahe zakladnu chybu - a to v urceni, co je tych 15 m vysky stoziara ;-)

Uhol vytvorený kolmicou z lode a z miesta pozorovateľa do stredu Zeme je 0,124 °. Tieto kolmice sú prakticky rovnobežné, preto stožiar lode má naozaj 15 metrov a nie viac, ako sa to skreslene javí z obrázku.

D´Ady, tu píšem o čo ide. V skutočnosti je odklon kolmice stožiara veľmi malý. Vzdialenosť 14 kilometrov na zemskom povrchu je prakticky rovina a tá malá nerovnosť spôsobí naklonenie stožiara len asi 3 milimetre oproti kolmici v mieste pozorovateľa.

Obrázok je preto tak zámerne skreslený, aby bolo jasne vidieť použitie Pytagorovej vety ;-)

edit

no neviem, neviem, mam teraz dolezitejsiu pracu, ale podla mna tvojich 15 m nie je naznacenych dobre

si v matematike lepsi ako ja, skus to prepocitat pre vyrovnanejsi pomer vysky "stoziara" a polomeru Zeme

D´Ady, tu píšem o čo ide. V skutočnosti je odklon kolmice stožiara veľmi malý. Vzdialenosť 14 kilometrov na zemskom povrchu je prakticky rovina a tá malá nerovnosť spôsobí naklonenie stožiara len asi 3 milimetre oproti kolmici v mieste pozorovateľa.

 

Obrázok je preto tak zámerne skreslený, aby bolo jasne vidieť použitie Pytagorovej vety ;-)

Výsledok bude takmer rovnaký, ale tá Pytagorova veta by mala byť

x²=6378015²-6378000²=13832,578...

Takže D'Ady má pravdu, Bohuš z hľadiska istých zanedbaní tiež.

x je vzdialenosť vrchola stožiaru od pozorovateľa, loď bude zanedbateľne bližšie.

Príklad 1:

Predstavme si, že na rovníku niekde v Afrike je ročné obdobie, kedy Slnko je na poludnie presne nad hlavou pozorovateľa. Uhol, ktorý zviera Slnko s vodorovnou plochou okolia, je presne 90°.

Aký uhol zviera Slnko s vodorovnou plochou okolia v tom okamihu v Bratislave ?  Bratislava má zemepisnú šírku 38°. ( Je to uhol medzi rovníkom a Bratislavou s vrcholom v strede Zeme. Severný pól má tento uhol 90°.)

Slnko bude 38° od zenitu, teda 90-38=52° nad obzorom.

Samozrejme len vtedy, ak budú na tom istom poludníku (teda rovnaká zemepisná dĺžka).

Bratislava je v skutočnosti asi o desať stupňov severnejšie.

Podobne v staroveku určil Eratostenes pomerne presne polomer Zeme.

Takže to môžeme skúsiť spočítať aj my.

V Syene lúče Slnka svietili na dno studne - teda Slnko bolo v zenite.

V Alexandrii bolo vtedy Slnko 1/50 kruhu (7°12') od zenitu.

Vzdialenosť medzi mestami "bola" 5000 stadií (1st.=157,5m)

Aký mu vyšiel polomer Zeme (zanedbajme sploštenie Zeme a nerovnakú zemepisnú dĺžku oboch miest)

Zobracka, máš pravdu, Bratislava nemá zemepisnú šírku 38° ale 48°. Ten uhol 52°, pod akým vidieť Slnko v zemepisnej šírke 38°, čo je napríklad juh Španielska, si vypočítala podľa mňa správne.

Ešte sa vrátim k tomu tvojmu veľmi zaujímavému príkladu so stožiarom lode. Natrafil som na dva problémy. Prvý som si vysvetlil. Moja kalkulačka, do ktorej môžem zadať 8 miestne číslo, už nevypočíta dostatočne presne príklad tohto druhu. Vypočíta to takto nelogicky:

Druhá odmocnina z (6 378 015² – 6 378 000²) = 13 831,124 metrov

Druhá odmocnina z (6 378 000² – 6 377 985²) = 13 834,739 metrov

Prvá hodnota podľa tvojho vzorca udáva vzdialenosť horného konca 15 metrového stožiara lode od pozorovateľa.

Druhá hodnota podľa môjho vzorca udáva vzdialenosť spodného konca stožiara lode od pozorovateľa.

Povedzme, že ten spodný koniec je na úrovni hladiny mora. Presný výpočet v počítači pomocou EXCELU alebo aj na kalkulačke v počítači je takýto:

Druhá odmocnina z (6 378 015² – 6 378 000²) = 13 832,578 393 055 metrov

Druhá odmocnina z (6 378 000² – 6 377 985²) = 13 832,562 127 097 metrov

Z tohoto sa zdá, že spodná časť stožiara je ku zvislici pozorovateľa bližšie o x₁ = 0,016 265 958 metrov, čo je asi 16 milimetrov

Môžeme teraz urobiť kontrolný výpočet iným spôsobom na základe tejto úvahy:

Pomer vzdialenosti 13 832,578 393 055 metrov ku polomeru Zeme je taký, ako diferencia x₂ ku výške stožiara 15 metrov.

x₂ = (13 832,578 393 055/ 6 378 000) x 15 = 0,032 531 934 metrov, čo je asi 32 milimetrov

Toto je ten druhý problém, ten skoro presne dvojnásobný rozdiel. Z hľadiska našich výpočtov ide iste o zanedbateľnú hodnotu 16 milimetrov, ale zaujíma ma  dôvod takého rozdielu. Kdesi v mojich úvahách musí byť určite chyba a ešte som ju zatiaľ nenašiel.

tak sa vratme este raz k lodi so stoziarom

ako som uz pisal, nesuhlasim s Bohusom a s tym, co nakreslil do obrazku a ze pocital vzdialenost "s"

Pre zjednodušenie môžeme predpokladať, že sedíme vo vode pri pobreží a naše oči nie sú ďaleko od hladiny mora. A vrchol stožiaru lode je vo výške 15 metrov od hladiny.Potom platí, že vzdialenosť s = Druhá odmocnina z (6 378 000² – 6 377 985²) = 13 833 metrov = asi 14 kilometrov. Pri tejto vzdialenosti začína byť vrchol stožiara už viditeľný.

Uhol vytvorený kolmicou z lode a z miesta pozorovateľa do stredu Zeme je 0,124 °. Tieto kolmice sú prakticky rovnobežné, preto stožiar lode má naozaj 15 metrov a nie viac, ako sa to skreslene javí z obrázku.

pre porovnanie prikladam moj nacrt situacie a nasledne riesenie

iste vas neprekvapi, ze pri danom pomere vysky stazna a polomeru Zeme nakoniec dojdeme k priblizne rovnakemu vysledku, principialne je to vsak inak...

nespravne je oznacenie 15 m na Bohusovom obrazku

my totiz nepocitame Bohusovu vzdialenost "s", ale prislusnu dlzku  ? obluka, prisluchajucemu uhlu ß

zdroj udajov

http://www.fodor.sk/spectrum/ssustava.htm
Zbierka matematickych vzorcov - A.E.Cikunov (ALFA, 1973)

Polomer zemského rovníka: 6 378 245 m
Obvod rovníka: 40 075 704 m

pre zjednodusenie predpokladajme, ze
- oci pozorovatela su v urovni mora
- vysku stoziara berieme tiez z urovne hladiny mora
- situaciu mame na rovniku
- v smere rovnika

naše známe sú:
r = 6 378 245 m
v_s = 15 m

potom r₁ = r + vs = 6 378 260 m

odvesnu d vypocitame podla Pytagorovej vety
d = INV((r+v_s)² - r²)² = 13832,845 m

uhol ß medzi r a r₁ vypocitame pomocou goniometrickej funkcie sinß = d/r₁ = 0,00216875

potom uhol ß= 0,12426°

a na zaver musime vypocitat prislusnu cast obvodu rovnika, ktory prislucha danemu uhlu ß
da sa na to pouzit vypocet podla vzorca ? = 2*¶*r* ß / 360 = 0,01745*r*ß = r*arc ß
pripadne trojclenka, kedze pozname obvod celeho rovnika
? = 13832,82 m

(pocitane bolo na vela desatinnych miest, tu napisane medzisucty aj vysledok su zaokruhlene)

Počas editácie tohto príspevku ma predbehol D'Ady. Škoda, že použil presnejšiu konštantu polomeru Zeme, teraz sa to dá porovnať len vo vzťahoch, nie číselne. Tieto štyri riadky boli editované až po prečítaní predchádzajúceho príspevku.

Môj pôvodný text:

Poďme si to teda celé "upratať". Pre zjednodušenie zabudnime, že Zem má tvar geoidu (je sploštená) a nemá hladký povrch.

1/ Bohušov postup je použiteľný len vtedy, ak je uhol alfa pri strede Zeme malý. Pre malé uhly v radiánoch platí x=sin x=tg x. Ak by sme chceli určiť ako ďaleko je družica, keď má výšku napr. 400 km nad povrchom a my ju vidíme presne na obzore, už by bol jednoznačný postup d²=(R+h)²-R² , kde d je vzdialenosť družice, R je polomer Zeme a h je výška družice nad povrchom.

2/ Ak by sme chceli úlohu riešiť s čo najväčšou presnosťou (čo je prakticky zbytočné, ale teoreticky tak uvažovať môžeme), je lepšie upraviť vzťah na d²=2Rh+h², pričom sa čiastočne vyhneme veľkým číslam pre kalkulačku. Ja používam vedeckú kalkulačku, ktorá je súčasťou Windowsu a má dostatok desatinných miest, aj keď nie je isté, koľko z nich je platných. Mne vyšlo pri lodi 13832,578 393 054 564 576...m V prípade windowsovskej kalkulačky to vyšlo rovnako aj v pôvodnom tvare s druhými mocninami.

3/ Úlohu možno riešiť aj bez Pytagorovej vety pomocou goniometrie : Uhol alfa=arccos(R/(R+h))=0,124 262 640 181 808...° a odtiaľ d=R.tg(alfa)=13832,578 393 054 564 576...m V Bohušovom prípade by bol uhol alfa'=arccos((R-h)/R)=0,124 262 786 304 357...°, čo je o "nula celá nič" viac. Pre d by platilo d=R sin(alfa')= 13832,562 127 097 062 129 m, čo je rozdiel 16mm!!! (pri družici by to už bolo oveľa viac)

4/ Ak by sme chceli byť "presní" v prípade lode, tak jej vzdialenosť by asi mala byť časť kružnice, teda nie priama vzdušná, resp. "podvodná" vzdialenosť. Potom by D=arccos(R/(R+15))  . 2Pi.R / 360° =13832,556 705 134 180 850...m Toto číslo je bližšie k Bohušovmu riešeniu.

5/ Bohuš píše:

Prvá hodnota podľa tvojho vzorca udáva vzdialenosť horného konca 15 metrového stožiara lode od pozorovateľa.

Druhá hodnota podľa môjho vzorca udáva vzdialenosť spodného konca stožiara lode od pozorovateľa.

Druhá veta chce upresnenie - ide o vzdialenosť spodného konca stožiara od miesta 15m pod pozorovateľom, nie od pozorovateľa

6/ K diferenciám:

Bohuš píše: Pomer vzdialenosti 13 832,578 393 055 metrov ku polomeru Zeme je taký, ako diferencia x₂ ku výške stožiara 15 metrov.

Pomer vzdialenosti 13 832,578 393 055 metrov ku polomeru Zeme d/R = tg(alfa), ale pomer diferencia x₂ ku výške stožiara 15 metrov x2/15=sin(alfa) (Ak počítame od kolmice vzdialenosť od kolmice).

7/ Priama vzdialenosť pozorovateľa od päty stožiara, teda nie po povrchu, ale krížom pod vodou (napr. akú vzdialenosť by prešlo torpédo) by sa počítala z uhla alfa (nie alfa') 2.R.sin(alfa/2)=13832,553 994 149 392 909...m

8/ Päta stožiara, alebo stožiaru? A to už nie sú počty! Podľa slovenčinárky vraj dvojtvar :-)

Ospravedlňujem sa všetkým, ktorých moje úvahy, počty a vysvetlenia unudili k smrti. Uzavriem to teda vetou:

Loď sa aj tak na vlnách kolísala a všetko je zase inak...

Našiel som dôvod, pre ktorý nesedel kontrolný výpočet a vznikali tie dve rozličné diferencie x₁= 16 mm a x₂ = 32 mm.

Správna hodnota mi teraz vychádza obidvomi spôsobmi výpočtu x = 32 mm . 
Aby sme to tu "nezaspamovali"  prebytočnými slovami  :)  , nech v tejto téme radšej hovorí reč čísiel:

 

Našiel som dôvod, pre ktorý nesedel kontrolný výpočet a vznikali tie dve rozličné diferencie x₁= 16 mm a x₂ = 32 mm.

Správna hodnota mi teraz vychádza obidvomi spôsobmi výpočtu x = 32 mm . 

Aby sme to tu "nezaspamovali"  prebytočnými slovami  :)  , nech v tejto téme radšej hovorí reč čísiel:

 

Presný výpočet vzdialenosti lode.png

 

v2 je zo zadania PRESNE 15m. Myslím, že to bolo už dosť podrobne rozobraté.

Predloženým výpočtom som sa chcel len podeliť s mojím prekvapením, že keď zvýšime výšku 15 metrového stožiara o 0,035 milimetra,
tak sa to prejaví úplným odstránením nesprávnej diferencie vzdialeností "x" a výpočty do seba pekne logicky zapadnú.

Ako som už predtým napísal, príklad tohto druhu sa mi zapáčil, lebo som si lepšie uvedomil rôzne pre mňa neznáme súvislosti.

Iný príklad, ktorého riešenie "vyráža" dych:

Majme Zem ako ideálnu guľu s polomerom (ako v škole: šetři se osle) 6378km. Natesno ju obopneme okolo rovníka povrazom (máme dosť dlhý povraz o dĺžke obvodu Zeme). Potom pridáme k povrazu 1 meter, čím vznikne po celom obvode Zeme rovnomerná medzera. Aká bude veľká?

@Bohus
hlavne si pri takychto prikladoch clovek uvedomi rozne zaludnosti zadania - aka vlastne bola otazka ?

vzdialenost stoziara od pozorovatela - myslene od paty, alebo od vrcholca ? myslene po priamke "popod vodu", alebo po krivke "po povrchu" ?

@Bohus

hlavne si pri takychto prikladoch clovek uvedomi rozne zaludnosti zadania - aka vlastne bola otazka ?

vzdialenost stoziara od pozorovatela - myslene od paty, alebo od vrcholca ? myslene po priamke "popod vodu", alebo po krivke "po povrchu" ?

To stáva aj v odkopírovaných zadaniach, nie to ešte vo vlastných (vymyslených). Preto boli vysvetlené rôzne možnosti riešení a ani jedno definitívne zavrhnuté. Takto si predstavujem výuku matematiky/fyziky na školách, aby deti, ale v tomto prípade aj čitatelia fóra boli zatiahnutí do problému, našli akékoľvek riešenie  a vedeli ho odôvodniť. Diskusie nás iba podávajú dopredu a objavujeme nové pohľady.

Riešenie príkladu týkajúceho sa obopnutia Zeme povrazom okolo rovníka z príspevku 1862 : 

Obvod Zemegule by sme mohli označiť „O“, prírastok polomeru Zeme „x“ a polomer Zeme „r“

O = 2π . r

O + 1 meter = 2π . (r + x)

2π . r + 1 = 2π . r + 2π . x

1 = 2π . x   
Je zaujímavé, že polomer Zeme nehrá vo výsledku žiadnu úlohu a povraz by mal byť
x = asi 16 cm nad povrchom Zeme po dodatočnom vložení 1 metra povrazu. 

Ostáva ešte tento príklad z príspevku 1855, ktorý nám dala Zobracka a ktorý riešil kedysi Erastothenes: 

V Syene lúče Slnka svietili na dno studne - teda Slnko bolo v zenite.

V Alexandrii bolo vtedy Slnko 1/50 kruhu (7°12') od zenitu.

Vzdialenosť medzi mestami "bola" 5000 stadií (1st.=157,5m)

Aký mu vyšiel polomer Zeme (zanedbajme sploštenie Zeme a nerovnakú zemepisnú dĺžku oboch miest) 

Našiel som kdesi na sieti obrázok, ktorý trochu názornejšie vysvetľuje o čo išlo, tak ho sem prikladám.  Len zbežne som sa s úlohou zatiaľ zoznámil. Súčasne som  sa dozvedel, že mesto Syene ležalo niekde v oblasti Asuánu.  Asuán je tak trochu na juhovýchod od Alexandrie, ale podľa zadania môžeme tento smer považovať za južný:

Polomer Zeme mohol  Eratosthenes pravdepodobne vyrátať na základe nasledovnej úvahy:

Zvislica zo studne v Alexandrii a zvislica zo studne v Syene sa stretnú v strede Zeme. Uhol medzi týmito zvislicami bol zmeraný na základe rozdielu uhlov tieňa v studniach.
V Syene bol napoludnie ten uhol 0° a v Alexandrii 1/50 kruhu. Rozdiel je uhol 1/50 kruhu.

Pre dĺžku kružnicového oblúka na povrchu Zeme môžeme napísať vzorec s = 2π . r /50

Dĺžka kružnicového oblúka bola s = 5000 štádií x 0,1575 = 787,5 km 

Polomer Zeme po úprave vzorca r = 50 . s /2.π = 50 . 787,5 / 6,28 =  6270 km

Ako vidíme z priloženej mapky a údajov o zemepisnej šírke a dĺžke zo stránky http://slk.timegenie.com/city.time/egaly ,
Eratosthenes mohol použiť pre svoj výpočet takmer presne takú vzdialenosť, akú by sme dosadili aj my (790,35 km = rozdiel zemepisnej šírky).
Uhol, ktorý bol určený na základe tieňa, bol o čosi nepresnejší, ale výsledok je na danú dobu obdivuhodný.

Veľmi pekné vysvetlenie. V obrázku mi tak nejak graficky nepasoval do očí pomer 330 a 790km. Pritom sa mi ukázala maličká chybička (nesúvisí s pôvodným zadaním a riešením). Číslo 330km je asi o 10% nadhodnotené.

Takže máme novú úlohu:

Aká je vzdialenosť Syeny od poludníka 29,916 668°? Počítajme po ideálnom povrchu Zeme a po rovnobežke. Úloha by mala byť zvládnuteľná na úrovni ZŠ.

Máš pravdu, urobil som hrubú chybu vo výpočte. Jeden stupeň zemepisnej šírky predstavuje asi 111,317 kilometrov, ale to neplatí pre jeden stupeň zemepisnej dĺžky.

Uhol 2,966 663 medzi mestami Alexandria a Syene treba vynásobiť iným číslom, nie 111,317, ako som to urobil ja.

 

Pokúsil som sa vyrátať okrem vzdialenosti Syene od poludníka 29,916 668° po rovnobežke aj priamu vzdialenosť medzi mestami po zaoblenom zemskom povrchu, ale nečakal som, že to bude taká fuška. Zdá sa mi, že by výpočty mohli byť správne a okrem opravenej mapky prikladám aj obrázky, na základe ktorých som robil tieto výpočty:

Vzorce:

 V radiánoch: αA = zemepisná dĺžka miesta A

 V radiánoch:  αS = zemepisná dĺžka miesta S

 V radiánoch: βA = zemepisná šírka miesta A

 V radiánoch: βS = zemepisná šírka miesta S

 V radiánoch: α = Rozdiel zemepisnej dĺžky A a S, α = αS - αA

α = Rozdiel zemepisnej dĺžky A a S, α = αS - αA v stupňoch

Polomer rs = r . cos βS

a =  rs . cos α   -  r . cos βA

b = rs . sin α

c = Odmocnina (a˄2 + b˄2)

d = r . ( sin βA - sin βS )

e = Odmocnina (c˄2 + d˄2) 

Sin (δ/2) = e/(2 . r)

Uhol (δ/2) v radiánoch

Prevod uhlu (δ/2) na stupne

Uhol δ v stupňoch = 2 . (δ/2)

m = Vzdialenosť miest A a S  = 2.π . r . δ / 360

p = Dráha A - C  medzi rovnobežkami, p = 2.π.r.(βA - βS)/360

n = Dráha C - S po rovnobežke bodu S,  n = 2.π.rs.α /360

Zistené vzorce som dal do EXCELU, a kto má záujem to skontrolovať, lebo predsa len nie som si na 100 percent istý, môže otestovať vzorce aj pre iné mestá. Stačí zadať zemepisnú šírku a dĺžku ľubovolných miest a na posledných riadkoch sa objaví vzdialenosť medzi mestami a aj vzdialenosť medzi ich rovnobežkami a vzdialenosť od poludníka toho daného "spodného" mesta. Zeleným písmom sa hore zadáva najprv zemepisná dĺžka toho "horného" mesta a pod to dĺžka "dolného" mesta .

To platí aj pre zemepisnú šírku. V prílohe je zošit EXCELU s príslušnými vzorcami:

Vzdialenosti miest na základe súradníc.xls

Bohuš to urobil pekne a názorne, klobúk dolu!

Ešte ma napadlo, že by to šlo spočítať v pravouhlej súradnicovej sústave, ktorá sa učí v rámci analytickej geometrie na SŠ (resp. na gymnáziách určite).

Pre ľubovoľný bod na povrchu gule platí:

z = R . sin(β)

x = R . cos(β) . cos(α)

y = R . cos(β) . sin(α) 

Potom vzdialenosť dvoch takýchto bodov (Bohuš ju označil e) e = Odmocnina ((x1-x2)²+(y1-y2)²+(z1-z2)²)

Alebo by sa dal použiť vzťah pre uhol  δ dvoch priamok, ktoré prechádzajú stredom gule a jedným z dvoch daných bodov.

Smerové vektory týchto priamok majú pravouhlé súradnice [x,y,z] spočítané rovnako, ako vyššie.

...

asi ste už slnečné lúče dopočítali, keď nie, nevadí, môžete pokračovať : ) ... ale z jednej školskej matematickej olympiády ma zaujal jeden roztomilý remeselnícky príklad 

/ hlavne mi  pripomenul módu geometrických vzorov na plotoch a vchodových dverách pred ... xy rokmi ... pamätníci pamätajú :) / :

Keďže riešenie nie je závislé na pomere strán obdĺžnika (dá sa to dokázať), musí platiť aj pre štvorec.

Potom už nie je ťažké spočítať, že každá drevená časť je dvakrát väčšia ako susedná sklenená.

Ak si označíme výšku dreveného trojuholníka ako x, tak jeho plocha bude (a . x) / 2 a susedný ostrouhlý sklenený trojuholník bude veľký (x . a/2) /2

Spolu tvoria jednu štvrtinu celého štvorca

a.x/2 + (x . a/2) / 2 = a²/4, odtiaľ 3x=a, resp x=a/3

plocha jedného dreveného trojuholníka je x. a/2 = a/3 . a/2 = a²/6.

plocha susedného skleneného trojuholníka je zvyšok do trojuholníka, ktorý spolu tvoria a ktorý je štvrtinou celej plochy

a²/4 - a²/6 = a²/12

Poleno teda potreboval 2m² dreva, ak neuvažujeme odpad - ten by pri takých uhloch a tvaroch bol asi riadne veľký.

Schválne, skúsme zrátať, akú najmenšiu pravouhlú platňu dreva a skla by potrebovali v praxi, ak by dvere boli štvorcové (tu už je pomer strán významný).

Pre sklo to ide spočítať vcelku dobre, pri dreve to je horšie, zatiaľ ani ja nemám drevené riešenie.

Pomôže snáď obrázok. Všetky označené strany aj uhly (nedarilo sa mi ich písať gréckymi písmenami) sa dajú spočítať. Rozloženie sklenených častí je dosť intuitívne (dokonca sa dá použiť aj "vzorkované" sklo, ktoré nie je rovnaké z oboch strán).

Drevené riešenie je ešte efektívnejšie (menej odpadu), ale za predpokladu, že drevo je použiteľné obojstranne.

Popri počítaní ma napadla ďalšia úloha (opäť súvisí s predchádzajúcim príkladom):

Aká veľká je výška trojuholníka, ak poznáme jeho všetky 3 strany. Číselne napr. a=3, b=5, c=6, v_a=?