Pomôžte mi počítať

Zle som si to prečítal, preto som oponoval... pochopil som to nesprávne tak, že pre tieto dve konkrétne rýchlosti existuje mnoho trojuholníkov s minimálnou vzdialenosťou...Pre rôzne rýchlosti to samozrejme platí...

sinus gama= AB/x

x=AB/ sinus gama

kreslené je to v mierke, aby som to overil a nemusel počítať.

Nádherné, geniálne riešenie!

V obrázku je pár numerických chybičiek (akoby som videl seba)

a tiež sinus je naopak: sin(gama)=x/AB,

ale po ich oprave to vyjde presne tak, ako derivovaním.

 

Urobil som výpočet pre prípad, kedy sa rýchlosti áut rovnajú. Trojuholník je naozaj iný, a je rovnoramenný.

 

Správnosť mojich výpočtov potvrdzuje aj výpočet urobený na základe vtipného nápadu tvojho syna, kde výsledok je na chlp rovnaký.

 

Vtipný nápad.png

 

 

1/

Z derivácií po dosadení a úpravách skutočne vyjde, že y*v2=-x*v1. Z toho je jasné, že jedno z áut bude pred križovatkou a druhé za (ak rýchlosti v1 a v2 sú kladné, teda smerujúce k stredu križovatky). Asi (určite) by som si to nevšimol, keby som nemal výraz zderivovaný. Klobúk dolu aj pred týmto riešením.

2/

V reakci na Alarma tam máš v obrázku dvakrát rýchlosť 150km/h (jedna mala byť 100km/h) a preto BY Ti nevyšiel správny výsledok.

3/

Nová úloha:

Počas riešení som niekoľkokrát počítal so zlomkami, ktoré v desatinnom čísle boli periodické a chcel som ich vyjadriť presne v tvare zlomku. V daných prípadoch sa mi to tak akosi "náhodou" hneď podarilo, ale ako sa dá z periodického desatinného čísla napísať zlomok? Skúsme to počítať obecne, alebo napr. pre číslo (práve si vymýšľam) 0,123123123...

a tiež sinus je naopak: sin(gama)=x/AB,

 

Mal som to dole hlavou :zubiska:

pekne riesenie auticiek, gratulujem.  Ano zmena pohladu je to co som hladal :)

V reakci na Alarma tam máš v obrázku dvakrát rýchlosť 150km/h (jedna mala byť 100km/h) a preto BY Ti nevyšiel správny výsledok.

 

Zobracka, ak máš na mysli tie dva obrázky, kde sa porovnávajú výsledky vyrátané rôznym spôsobom, tak dve rýchlosti 150 km/h sú správne. To je zámerne ukážka toho, ako to vyzerá pri dvoch rovnakých rýchlostiach.

K tej úlohe, ktorú si nám dal, pridám ešte jednu takú trochu ľahšiu z geometrie:

Chceme urobiť z kartónu 300 x 400 mm krabičku a chceme aby mala čo najväčší objem. Zastrihneme štvorce na rohoch a vzniknuté 4 steny ohneme nahor.

Treba zistiť, aká má byť výška tých stien x a rozmery spodku a x b.

1/

Nevšimol som si poriadne "zadanie", takže obrázok aj počty k nemu sú OK.

2/

Opäť derivácie??? Nebudem už nudiť? Ale aspoň vidno, že nie sú "zbytočné".

V=(c-2x)(d-2x)x=4x³-2(c+d)x²+cdx, kde c=400mm=4dm, d=300m=3dm

Po zderivovaní

dV/dx=12x²-4(c+d)x+cd

Po dosadení dostaneme kvadratickú rovnicu, ktorej 2 korene sú x1=1,76..., resp. x2=0,56574...

Ten prvý je nepoužiteľný, lebo 3-2*1,76...<0

Rozmery krabice budú cca 0,56574 * 2,86852 * 1,86852   a objem V=3,0323...dm³

Pre "kontrolu":

pri x=0,5 bude objem 3 * 2 * 0,5 = 3 dm³ <V

pri x=0,6 bude objem 2,8 * 1,8 * 0,6 = 3,024 dm³ <V

zlomky, :  to co nas ucili v skole,   

1, najprv sa to vynasobi takou mocninou desiatky aby za ciarkou ostala len perioda   v tvojom pripade netreba

a potom sa urobi rovnica  

x =  0,123

1000 x  =  123, 123 ...

, a riesenim mas  zlomok  999x =  123 

Ani ja som pred zadaním nepoznal postup, tak som "vymýšľal":

číslo 0,123123... môžeme napísať aj v tvare

123*0,001001...=123*(10^-3+10^-6+...)

V zátvorke je nekonečný geometrický rad, ktorého súčet je 10^-3/(1-10^-3)=1/999

Som nejaký komplikovanejší, ako je potrebné.

Tvoje riešenie je rozhodne elegantnejšie.

Pred týždňom mi deti (ZŠ) dali na krúžku takúto úlohu:

Do rovnoramenného lichobežníka je vpísaná kružnica (t.j. dotýka sa všetkých štyroch strán). Každé z ramien (teda dve "protiľahlé" nerovnobežné strany) má dĺžku 6cm. Aký je obvod lichobežníka?

Zobracka, máš pravdu, že nie je na škodu ovládať aspoň základné znalosti derivácií. Keď sa mi darí jednoduchšie príklady vypočítať, tak tomu trochu prichádzam na chuť. Počítanie integrálov je už ťažšie, ale  je dobré poznať aspoň tie jednoduchšie princípy. (Škoda že som ich neovládal počas produktívneho života; teraz som mohol mať možno lepší dôchodok  :) . ) 

Ten príklad, čo si dostal od detí, je celkom milý. Najprv som mal dojem, že je tam málo informácií. Skúsil som si ale nakresliť postupný prechod zo štvorca cez lichobežník až po trojuholník s vpísanými kružnicami. Z obrázku vidno riešenie, aký by mal byť obvod všetkých týchto geometrických útvarov. Zdá sa, že 24 cm.

Dávam tu jeden jednoduchý príklad na výpočet pomocou integrálov, ktorý si môžu vyskúšať aj tí, ktorí integrály neovládajú: 

Vedenie firmy sa rozhodlo umiestniť na vonkajšej stene budovy  graf, ako rástla ich výroba.
Treba kúpiť červenú farbu, ale najprv treba vypočítať plochu  grafu.
Plochu grafu ohraničuje presná krivka, ktorej (zvislá) hodnota y = e^x, kde e = 2,718 a x je vodorovná vzdialenosť od nuly naľavo i napravo v metroch.
(Graf má šírku 4 metre a maximálnu výšku 7,389 m)

Pomôcka: Funkcia e^x má vlastnosť, že jej derivácia a aj integrál tejto funkcie má presne taký istý tvar, ako samotná funkcia, tak netreba rátať žiadny integrál. Takže nielen výška y pri x = 2 metre je 7,389 m, ale aj integrál tejto funkcie, čiže červená plocha je 7,389 m². Ale treba vziať do úvahy, že týchto 7,389 m² by bola plocha celej krivky, ktorá na ľavej strane končí v nekonečne pri x = - 1000 .... m . My sme tento chvost pri x = - 2 metre obrazne povedané odstrihli a plochu tohto chvostu treba vypočítať a odrátať. Tým vlastne vypočítame určitý integrál. Vzorec vieme, len treba dať do kalkulačky patričné údaje.

1/

Najskôr k tvojmu riešeniu: Je obdivuhodné, aký máš "šiesty zmysel - intuíciu". Výsledok je skutočne 24, aj keď som to celkom nepochopil. Existuje nekonečne veľa rovnoramenných trojuholníkov s ramenami 6cm - špecálne aj rovnostranný. Tam by bol obvod 3*6=18. Mení sa pritom polomer vpísanej kružnice, ktorý v zadaní nie je daný. U lichobežníka je to samozrejme inak, existuje len jeden rovnoramenný lichobežník s ramenami 6cm, do ktorého by sa dala vpísať kružnica.

Chlapec bol prekvapený mojím riešením (využil som, že stred vpísanej kružnice by mal byť v osi uhla - aspoň si tak myslím???), lebo oni to riešili "numericky" a rovnicami.

2/

Už to začína byť "základná škola" matematickej analýzy... Aj keď to tvoje zadanie vyzerá na prvý pohľad "hrozivo", riešenie je ozaj veľmi triviálne. Držím palce

zobracka, ked poznas sucet nekonecneho radu, tak nemusis poznat jednoduchsie postupy :),   kazdy periodicky zlomok  je jednoduchy geometricky rad, akurát ze aj si vzorec na jeho sucet odvodzujem podobne, kedze si ho nepamatam :)  a minule som si kua musel odvodit aj kvadraticku rovnicu, aj tu som zabudol

a k lichobezniku,   bohus pouzil  nepovedany predpoklad  ze riesenie existuje,  a kedze rieseni lichobeznika je viac, tak uloha ma zmysel len vtedy ak je obvod nemenny a potom skutocne jednym z riesenim je "limitny" lichobeznik, kde je horna strana nulova a vpisana kruznica tiez.  A potom je obvod 24.

Pekne a rychle aj ked nie uplne exaktne riesenie,  z hlavy som nevedel dokazat ze obvod sa nemeni.

Teda pre konkretnu kruznicu to je jasne, to viem dokazat, a tusim aj ako to zobecnit.   Ale je to taka fyzikalno matematicka predstava, zakladom je fakt ze sa ramena dotykaju kruznice vo svojom strede a potom su to vlastne paky s rovnakymi ramenami

Ešte by som sa vrátila k tomuto príkladu:  :hmmm:

Do rovnoramenného lichobežníka je vpísaná kružnica (t.j. dotýka sa všetkých štyroch strán). Každé z ramien (teda dve "protiľahlé" nerovnobežné strany) má dĺžku 6cm. Aký je obvod lichobežníka?

Dané je rameno lichobežníka ... 6 cm, alebo tiež ... a + b = 6

horná základňa = a+a

spodná základňa = b+b

súčet oboch základní /a+a/+/b+b/ ... alebo tiež /a+b/+/a+b/ = 6 + 6 = 12

Otázka nebola aká je veľkosť hornej, alebo spodnej základne, ale aký je obvod lichobežníka.

Obvod lichobežníka /obe základne + obe ramená/ = 24 cm.

Takto som si to kreslil aj ja. Vôbec nezáleží na velkosti kružnice, vždy to bude 24cm

... a kedze rieseni lichobeznika je viac...

Ja myslím, že je len jeden taký, kde ramená majú po 6cm.

Secretka ukázala riešenie, ktoré som mal na mysli. Treba si len predstaviť osi uhlov a z podobných, resp. zhodných trojuholníkov vyplýva uvedený vzťah.

Oops, ozaj ich je nekonečne veľa a už som pochopil aj Bohušov postup...Pozde, ale predsa!

Spomenul som si na jednoduchú úlohu, kde mnohí robia chybu:

Ak som za tovar zaplatil 100Eur s DPH a DPH je 20%, koľko si mám vykázať za tovar bez DPH?

83,30 Eur za samotný tovar bez DPH

100 € s DPH je 120 %,  →   20 % DPH z toho 16,70    →   100 - 16,70 = 83,30 €

------------------------------

Plášť kužeľa rozvinutý do roviny má tvar kruhového výseku so stredovým uhlom α = 150° a obsahom S = 523,4 cm². Vypočítajte rozmery tohto kužeľa a jeho objem.

Mne to vyšlo V=1/36*odm(35*S³/Pi). Postup nechám pre ďalších.

Mladosť istého starovekého Gréka bola 6 krát kratšia ako jeho celý život. Dospieval ďalšiu 1/12 svojho života. Po ďalšej 1/7 života sa oženil. Trvalo 5 rokov, kým sa mu narodil syn. Syn žil presne 1/2 dĺžky života svojho otca a zomrel o 4 roky skôr, ako jeho otec. Ako dlho tento Grék žil ?

Ja by som ešte poskytol malú pomôcku pre ten príklad týkajúci sa plochy časti exponenciálnej krivky. Predsa len tie vzájomné vzťahy funkcie a integrácie funkcie sú dosť zložité. Aj ja mám pochybnosti, či to dobre chápem. Z priloženého postupu výpočtu plochy krivky paraboly sa mi zdá, že tento postup možno použiť aj pri exponenciálnej krivke. Len tam je treba mať na pamäti, že keď dosadíme záporné číslo x do výrazu e^x,tak je to vlastne 1/ e^x, takže nám vyjde kladné číslo, nie záporné. A keď by sme dosadili v prípade paraboly záporné číslo napríklad x  = - 2 do vzorca x³/3, tak nám vyjde záporný výraz. Na obrázku tam sú dosadzované len kladné čísla x, ale spokojne môže byť dosadené aj záporné x, čo možno pochopiť z obrázku.

Integrál sa mi javí zaujímavá pomôcka pri výpočte zakrivených plôch.

Analogicky to bude aj s exponenciálou:

Plocha= exp(2) - exp(-2) = 7,389 - 0,135 = 6,254 m²

Čísla sú samozrejme zaokrúhlené

Ešte by som doplnil, že Eulerovo číslo e (niekedy nazývané aj Napierova konštanta) patrí k mimoriadne dôležitým konštantám v matematike, podobne ako Ludolfovo. Využíva sa (a veľmi často) najmä pri "vyššej" matematike. Mimochodom, platí:

e^ip=-1, kde i je imaginárna jednotka (komplexné číslo) a p je Ludolfovo číslo.

Ale to všetko už patrí na iné fóra...

Mladosť istého starovekého Gréka bola 6 krát kratšia ako jeho celý život. Dospieval ďalšiu 1/12 svojho života. Po ďalšej 1/7 života sa oženil. Trvalo 5 rokov, kým sa mu narodil syn. Syn žil presne 1/2 dĺžky života svojho otca a zomrel o 4 roky skôr, ako jeho otec. Ako dlho tento Grék žil ?

Tento príklad sa tu už pred časom vyskytol, takže by od nás nebolo férové iba riešenie "opísať"  :smile2:

zadanie

https://www.freespace.sk/tema/2632-pomôžte-mi-počítať/?p=183032

riešenie

https://www.freespace.sk/tema/2632-pomôžte-mi-počítať/?p=183069

stredoškolské príkladíky na písomku som našla,  mocniny a odmocniny - pafff som z nich zostala, kedysi v praveku sme to počítali na gympli ajaj, matikár si na ne potrpel :) :

1. Vypočítajte:

2. Vypočítajte:

3. Vyjadrite v tvare jedinej odmocniny:

Analogicky to bude aj s exponenciálou:

Plocha= exp(2) - exp(-2) = 7,389 - 0,135 = 6,254 m²

Čísla sú samozrejme zaokrúhlené

Zobracka, súhlasím, ja by som to tiež takým postupom rátal . (Je tam malá chybička, výsledok má byť 7,254 m², ale to je detail.)

Dlho mi nešiel do hlavy rozdiel medzi určitým a neurčitým integrálom, ale keď si to človek dôkladne nakreslí a vidí tú plochu, o akú ide a vypočíta pár príkladov, nie je to až také ťažké.

U tej exponenciálnej funkcie vidíme, že tá plocha 0,135 m², ktorá zodpovedá "chvostu" krivky tiahnúcej sa naľavo až do nekonečna, je nepatrná a pre praktický účel "nakúpenia potrebného množstva farby" nie je podstatná. 

Keby sme dosadili pre výpočet plochy paraboly také isté hodnoty  x₁ = -2 , a x₂ = +2, ako u exponenciály, tam je situácia trochu iná.

Plocha by sa rovnala S = [x₂³/3] - [x₁³/3] = [2³/3] - [(-2)³/3] = 2,666 + 2,666 = 5,333 m²

Tam sa hodnota pre záporné x  v konečnom dôsledku neodčítava ale priratúva k hodnote pre kladné x.

3. Vyjadrite v tvare jedinej odmocniny:

Tento hrôzostrašný výraz z úlohy v predošlom príspevku; zdá sa mi, že sa ľahšie rieši, keď si ho človek rozpíše takmer slovne.

Tu je môj pokus o jeho vyriešenie:

Druhá odm z [(3/5) . Tretia odm z [(3/5). Druhá odm z (5/3)]]

Druhá odm z [(3/5) . Tretia odm z [Druhej odm z (3²/5²) . 5/3)]]

Druhá odm z [(3/5) . Tretia odm z [Druhej odm z (3/5)]]

Druhá odm z [(3/5) . [Šiesta odm z (3/5)]]

Druhá odm z [Šiestej odm z (3⁶/5⁶) . 3/5]

Druhá odm z [Šiestej odm z (3⁷/5⁷) ]

Dvanásta odm z (3⁷/5⁷) 

Mám svoj wordovský dokument, kde si ukladám zaujímavé úlohy (táto bola odtiaľ) a keďže som na fóre nebol od začiatku (a aj keby som bol, tak by som si všetko nepamätal), tak sa nejaký neoriginálny príklad môže opakovať, aj keď sa snažím vymýšľať vlastné úlohy.

K počtom: najlepšie je dať to všetko na rovnaké základy s mocninami

1/

(3^1/3*5^1/3*(3³)^1/2)^-3  *   ((5²)^1/4 * (3²)^1/8)²   *   (3²)^-1/3   *   (3*(3³)^1/4)^1/3 =

3^-1 * 5^-1 * 3^-9/2     *     5*3^1/2     *      3^-2/3      *         3^(1/3+1/4)  =

3^{(-1-9/2+1/2-2/3+7/12)} * 5^(-1+1) = 3^-61/12 = 0,003755....

2/ 

6,4^1/3 * 56^1/3 * 0,49^1/3 = (2⁶*10^-1)^1/3 * 7^1/3 * 8^1/3 * (7² * 10^-2)^1/3 = 2² *10^-1/3 * 7^1/3+2/3 * 2 * 10^-2/3 = 2³ * 7 * 10^-1 = 5,6

3/

(3*5^-1*(3*5^-1 * (5*3^-1)^1/2)^1/3)^1/2 = (3*5^-1*(3*5^-1 * 5^1/2*3^-1/2)^1/3)^1/2 =

(3*5^-1*3^1/3*5^-1/3 * 5^1/6*3^-1/6)^1/2 = 3^1/2*5^-1/2*3^1/6*5^-1/6 * 5^1/12*3^-1/12 =

3^{(1/2+1/6-1/12)} * 5 ^{(-1/2-1/6+1/12)} = 3^7/12 * 5^-7/12 = 0,6^7/12  = dvanásta odmocnina z (3/5)⁷ = 0,7423...

ešte stále stredoškolská matematika  :hmmm: :

1. Za jakou dobu klesne hodnota přístroje na dvě třetiny nákupní ceny, odepisuje-li se každým rokem 10 % jeho ceny z předchozího roku?

2. Podnik má během pěti let zvýšit výrobu o 70 %. O kolik procent musí podnik zvýšit výrobu v každém roce?

3. Napište  zlomkem číslo  12,326 / nad 26 je čiarka, periodických /

1/

0,9^rok=2/3

rok=log_0,9(2/3)=log(2/3)/log0,9=3,84

2/

p⁵=1,7, teda p=1,7^1/5 = 1,112...

= zvýšenie o cca 11,2%

3/

Popísal Tyso v úlohe 1932

12,3262626...=123,262626.../10

0,26262626=26/99, potom x=12+3/10+26/990=12+323/990

5 pirátov si delilo mince. Kapitán rozdelil kopu na 5 rovnakých častí, pričom mu jedna minca zvýšila. Tú hodil pre šťastie do mora a zobral si jednu časť, teda 1/5. Potom prvý dôstojník rozdelil zvyšok na 5 rovnakých častí, zase mu jedna minca zvýšila a hodil ju do mora. Zobral si tiež jednu pätinu ale už len z toho, čo nechal kapitán. Presne takto to pokračovalo aj ďalej až po piateho piráta, ktorý jednu mincu hodil do mora a pätinu z toho, čo ostalo po štvrtom pirátovi si nechal. Zvyšné mince si piráti odložili. Najmenej koľko mincí bolo na začiatku pred delením?