Mohutnosť nekonečna

Ale výsledkom akehokolvek integral, či derivácie v nejakom bode je presne rovné L, teda limite. Limita, teda číslo L je presne výsledkom akehokolvek integralu ci derivácie. Tam ti nerobí problém to, že existuje vždy číslo, ktoré je menšie ako to okolie? Tam ti nerobí problém, že si výsledok dal rovné L, teda limite? No nerobí lebo to bežne používaš. Ale pri limite sa vykrucas, že ta hodnota nic nehovorí o funkcii.

A to si asi v inej matematike kde výsledkom integrálu, ci derivácie nemôže byť nekonečno:) A maš aj take integrály kde mas hranice nekonečno. Tak o čom spievas? O akom vyhnuti sa nekonečna?

lenze tak je integral aj derivacia definovana, ako limita. Ako mi teda moze robit problem dat tam limitu ?

A ze nula je mensia ako 1/n pre akekolvek n ? Co je na tom problematicke ? Kde vidis paradox ?

A ako som pisal vyssie, ano vysledok moze byt aj nevlastny teda to comu bezne hovorime nekonecno. Je to zase otazka definicie, kde vysledok je vacsi ako ako akekolvek cislo, ludovo teda nekonecno. Ak si pozries definicie, tak tam nekonecno nie je a ani s nim nepocitas. Len definujes ze ide o nevlastnu limitu. A rovnako definujes aj nevlastne body ale operacie s nimi nie su zalozene na nasobeni nekonecnom ale zase na limitach.

No ty ho stale nevidis, to mi jesne. Maš šip letiaci v zenonovej uvahe jaskor prejde 0,5, potom 0,25, potom 0,125 atd. Výsledkom takejto limity je "1". No jedna nikdy pre žiadne lubovolne n ako výsledok delenia toho intervalu nedosiahneš. Pričom ty si ho dosiahol a napisal integral rovný =L=1. Takže čo si musel urobit, aby si dosiahol 1?

musel si dostanen nekonečným predelovaním intrevalu nakoniec 0, lebo 0 ti chýbala ako posledný krok k dosiahnutia terča.

no tebe je to jasne, mne je jasne nieco ine :) A to ze v matematike zadefinujeme tento sucet tak aby zodpovedal aj matematike aj tomu co ocakavas.

Ty si mozes povedat ze si ho dosiahol suctom nekonecna, v matematike sucet dedfinujeme ako limitu a ta da rovnaky vysledok.

A tak nemame paradox aby sme museli suctovat nekonecne dlho a zaroven vysledok je v sulade s tym ze sip doleti do ciela

nejde tu o čas počitania, predpoklad, aby si dosiahol presne 1 znamená, že v tom rade posledný člen je "0". A paradox je v tom, že sa tvariš, že to tak nie je. Ale tým, že si povedal, že si dosiahol limitu, teda výsledok je L, musel si posledný člen pripočítat nula a to ti už jasne nie je.

A názornejšie je asi toto:

a ako sam vidis objavuje sa ti tam limita 1/2^n, čo je presne výsledok nekonečného delenia teda "0". Pričom tam mas znova to, že ti n speje k nekonečnu, znova to vyšetruješ pre nekonečno, ibaže by si znova tvrdil, že žiadne nekonečna tam nie su, že? :)

no nie su :), ratanie limity nie je ratanie s nekonecnom. Ak ta pletie ten znak nekonecna, to je len symbol toho co ides robit. Ziadne delenie nekonecnom tam nebude.

1/2^10 je čo podla teba? alebo 1/2^nekonecno ? ked to nie je podiel tak ako to nazyvas? ale to uz je slovickarenie. Na to nemam čas. V matematike je 1/2^nekonecno=L=0

v podstate je aj to jedno ci je to podiel alebo nie je. Dolezite je, že ak povieš, že existuje konečné číslo nekonečnej postupnosti, tak si zaviedol predpoklad, že výsledný stav dosiahol 1, šíp dorazil do terča len v tom prípade, že člen 1/1/2^nekonecno=0. Ci si to nazveš inak ako podiel, alebo inak čarovne stale to znamená, že si urobil to čo ti píšem celý čas, že nekonečný predelením úsečky si dospel k nule.

robopol, tyso ti to tu vysvetľuje správne, matematike sú šípy a terče ukradnuté :) 1/2^nekonečno v matematike nie je, v matematike je lim_{n->nekonečno}1/2^n a to vieme čo znamená, je to také číslo L, že pre každé vopred zadané epsilon>0 vieme nájsť také n_0, že pre každé n väčšie ako n_0 je |L-1/2^n|<epsilon. Bolo to tak vymyslené, aby nevznikali "nekonečné počty krokov", ktoré tu prezentuješ. Cely spor, ktorý tu vedieš, je filozofický. Matematika sa už pekne dlho nenecháva pútať reálnym svetom a nechápem, prečo by to malo byť vnímané ako jej problém.

nekonečné počty nereprezentujem ja ale súčet nekonečného radu. je to súčet nekonečného počtu členov. A definícia limity na tom nič nezmenila, iba stanovila akým sposobom ten súčet ukončit. Súčet toho radu stanovila na hodnote L, teda limita nie je žiaden výpočet ale výsledok.

A kedže tým, že sme stanovili číslo, výsledok toho radu, potom sme povedali, že posledný člen súčtu toho radu bude nula, lebo inak sa k nemu nikdy k tomu bodu ani v teorii vzdusnych zamkov nedostaneme. A matematika tiez musi niest dosledky svojich vlastných vzdusnych zamkov.

ok, ak ignorujes definicie, tak mas pravdu :), nenechaj sa zmiast. mas napisane ze sucet nekonecneho radu, tak co by si sa nevyklaslal na definiciu ze vysledok nie je sucet ale limita, take slovickarenie to je zbabelost :).

A snad si nenechas zobrat svoju predstavu ze tam je paradox a matematika s nim nevie rady.

Nie tyso, zober mi ho ale korektne:) vramci logiky. Ak sa niekde dočitam, že zenonov síp dorazil do terca v nekonecnom súčte, tak sa držím toho, čo je výsledný stav. Tiez sa ti nepácilo, že sa objavia transcendetne čísla až v nekonečne, alebo ako jedinu vec porovnania množín si bral ako bijekciu, no zároveň výpočet kolko je tých čísiel na intervale 0-1 ako strom čísiel s 10 vetvami do nekonečna si nebral. Tak ako si obhajoval cantorovu diagonalu, ale ked som upravil maticu na i, k, teda ze i je väčšie ako k, tak si zacal hovorit ze v zozname su cisla s nekonečným rozvojom. ked sme teda presli na to ako take cislo dosiahnut, zacali sme o limitach, ale tu si zase zacal hovorit, ze to je iba taka nevinná dohoda a ze nejde o to, že to čislo by malo byt vysledkom suctu. Lebo to tak zas nie je v definicii.

Aj v matematike existuje niečo take ako iste vies na príklade holica co holi vsetkých v meste atd.

Zdravim,

pre zmenu trosku k teme.

Pre prirodzene cisla plati, ze mohutnost N x N je tovna mohutnosti N (usporiadane dvojice dokazeme usporiadat :yes_yes: )

Ako to bude v pripade realnych cisiel s mohutnostou R x R voci mohutnosti R?

Intuicia mi vravi, ze mohutnost R x R by mala byt vacsia...

V matematike je mohutnost realnych čísiel na úsečke rovnaká ako mohutnost plochy, či objemu. Mohutnost realnych je nespočitatelna a teda neurobíš ani priradenie. Tak nejak by to malo byt v matematike.

no, mas pravdu s polovice :) mohutnost R je rovnaka ako Rx R, a to znamena ze dokazes urobit priradenie. Rovnako ako dokazes urobit priradenie usecky na priamku. staci najst taku funkciu ( ja to poznam ako geometricke zobrazenie )

az mnozina vstekych podmnozin R ma vyssiu mohutnost

a k logike : Matematika je vystavana axiomaticky, prijmes axiom a nasledne robis logicky spravne kroky ako upravy, dokazy. To ze za tym mame nejake motivacie a predstavy co to vlastne znamena je pravda ale matematika na tom nestoji.

A len mozno poznamka, tento rozpor je viditelny v didaktike matematiky. Nepresne postupy, napady, predstavy to je to ci robi matematiku vzrusujucou a je skoda ze v skole sa to malo pouziva. Presnost definicii by mala byt urcena az matematikom, pretoze je nudna. Doteraz si spominam ako polovica nasej triedy nikdy nepochopila ci to ta limita je, naucili sa definiciu naspamat ale derivacie a integraly uz tym mali zneuchutene. Je ovela krajsie postupovat tak to bolo v historii cez nekonecna, matematika by sa tak stala exkurziou po svete divov. Nakoniec aj matematici dnes zacinaju napadom a az nasledne hladaju sposob ako to formalne spravne dokazat.

A k holicovi, to bol jeden z dovodov vybudovania axiomov teorie mnozin, tak aby nebolo mozne takyto paradox vytvorit. A jednym z myslienkovych dosledkov je aj godelova veta o neuplnosti. Paradoxov sa vieme zbavit ale neuplnosti nie.

To je síce všetko pekné, čo píšeš, no argument konkretny si nedal. Ak je výsledok limita a ta je rovna súčtu nekonečného radu, potom je aj limita to, že nekonečným stromom čísiel v desatinnom tvare najdem L=1*10 na alef0. a to už je spor s tým, že cantorov dokaz hovorí, že množina realnycch je väčšia. O to tu cely čas ide.

taktiež nemôžeš povedat, že šíp dorazí do ciela v súčte nekonečného radu, ked si to dal rovne L, pričom L je axiom. A ja to respektujem a idem dalej a takto ti vytvorím limitu realnych čisiel na intervale 0-1.

robopol, zjavne su debaty kde argumenty odmietas. Mas definiciu limity kde ziadne nekonecno nie je a definiciu ze ze sucet "nekonecneho radu" je limita suctu postupnosti suctov. kazdy jeden podsucet je konecny, limita nic o nekonecne nehovori, nikde teda matematika nesuctuje nekonecno, nedeli nulou a nenasobi nekonecnom. Ty sa drzis oznacenia nekonecny rad, rigorozny matematici to volaju sucet nad vsetky medze ale to je len slovo, podstatne je ze tam ziadne operacie s nekonecnom nie su. Ak ty ich tam vidis, tam nemam ako argumentovat, logicke argumenty odmietas. tak ti teda nechvam tvoj nazor, matematika sa necha ten svoj.

A cantorov dokaz sa rovnako nekonecnu vyhyba, lenze to rovnako odmietas pripustit. Ok, nemam co dodat. Tak potom tam vidis paradox, ale matematicki grazli nie :)

Ale to nie je argument, že limita neoperuje s nekonecnom. Po prve aj take limity mas, ja som ziadnu definíciu neupravil , definíciu limity. A tak stale opakujes, že tam nie je rozpor a u mna je lebo ja operujem nekonečnom, Opruejem limitou a nasiel som ti limitu realnych cisiel na intervale 0-1, pričom pre kazde konecné i, k je to presne nejake prirodzene číslo. Takže som ti vytvoril rad čísiel z toho intervalu, a taktiež somm ti ukázal, že na pre maticu čísiel i, k tam nebude číslo ktoré by tam chýbalo.

A tak tvoje argumenty spocinuli iba na tom, že to musi byt dobre lebo matematika je vybudovana bez paradoxov. Teda tvoje argumenty sa odvolavaju na vyssiu autoritu, ty ich nevies vyargumentovat.

robopol obsahom slov v matematike su definicie, ak limita v definicii s nekonecnom neoperuje tak to moze nazyvat ako chce. Ze to ma historicke dovody som uviedol. Podobne ako dnes symbol dx nie je nekonecna mala velicina ale ciste formalny zapis integralu ci derivacie.

Limita bola vymyslena presne preto aby si s nekonecnom nemusel pracovat, kedze to nie je korektne. 2n/n je 2 ppre kazde n ale pre nekonecno to je potom nekonecno/ nekonecno a to je divny vyraz.

A to co si urobil ( nie uplne dosledne) je ze si vytvoril maticu racionalnych cisel kde tvrdis ze ak tam budu niekde limity tak sa tam objavia vsetky realne cisla. Co je mozne, ale nezda sa mi to ako dokaz. A trvas na tom ze to podla teba vyvracia cantorov dokaz, co urcite neplati.

A kedze ja vidim ze tam paradox nie je ( nie je to prilis vzdialene od axiomov, takze retaz dokazov dokazem sledovat ), tak sa nepotrebujem odvolavat na vyssiu autoritu. To co nedokazem, je vysvetlit to, kedze ty napriklad neuznavas dokaz sporom.

napriklad rad 1/n, tento rad urcite neobsahuje 0, ale ma limitu a viem dokazat ze tato limita je 0. Nie je to 1/nekonecno, kedze tenyo vyraz sa neda vycislit v ramci axiomov. Rovnako existuje rad postupnych suctov a viem dokazat ze tento rad nema limitu, mozem zaviest dalsi pojem a poviem ze za istych okolnosti to nazvem nevlastna limita. ( pre kazde cislo k plati ze existuje clen, od ktoreho su vsetky cleny radu vacsie ako k )

Samotny pojem nevlastny bod je z geometrie, ale to nie je podstatne. V definiciach nekonecna nevystupuju, len tvrdenia o existencii ci neexistencii cisel.

Ja si prave neviem dobre predstavit, ako by mala vyzerat ta funkcia f: R -> RxR.

Neda sa uviest nejaky jednoduchy priklad?

Ak ti tak vadi, že v limite neoprejuš s nekonecnom. ved v poriadku. Ale urobil si súčet nekonečného radu a dal = L, kde pre limitu si našiel podla pravidiel formálnej definície. Ale dal si tam rovnítko.

A ja som dal rovnítko v svojej limite L=1*10na n, pričom pre n môžeš dosadit lubovolné číslo nad všetky medze.

A k tomu aby si sa dopatral výsledku vid visie pre letiaci šíp. Tak musíš vyrátat lim(1/2^n). No a ako si prisiel k nule? dobre nedosadil si nekonečno. lebo formalne vies zistit čomu je rovna taka limita. tak ako ja formalne viem zistit výsledok limity 1*10^n.

A k tej diagonale som ti to predsa vysvetloval, funguje to iba pri matici i=k, A teda štvorcovej matici pre maticu i>k to už nefunguje, ten dokaz na ktorý sa tak odvolavas

A to, že som ti ukazal ako spočitat take čísla kde výsledkom je alef0 je presne opacný výsledok ako odospel cantarov spor, že ich je viac. nemôzu sucasne platit oboje, pretože to by bol spor.

pojem nekonecny rad je historicky, nie je takto definovany. mas rad 1/n kde n rastie po jednotke. Ty si mozes povedat ze je nekonecny, ale to je len pojem. Pre matematiku to znamena ze pre lubovolne cislo n existuje clen tohto radu. Nie je ziadne cislo nad vsetky medze, to sa da dokazat, kedze mnozina N nie je z hora ohranicena.

Matematiku nezaujima ci sip doleti, to uz musi povedat fyzika ci limita splna to co potrebuje. Matematika nescita nekonecne vela cisel ale poskytne limitu, ak pustis vypocet radu na pocitaci scitanim tak nikdy nedobehne. Operacia sucet teda nie je totozna s limitou.

Tak si sa zas vrátil k limite DAL SI ROVNITKO. Tak v matematike TEDA ROVNITKO = znamená, že šíp doletí. A to je uhybny manever co teraz robíš, bojíš sa intrepretovat si limitu. V matematike je nekonecno, nezmizlo (dokonca tam je aktualne nekonečno), postupnost 1/n pre n- prirodzene číslo nikdy nedosiahne hodnotu 0. Lenže matematici to dotiahli dalej a chcel obist spor s nekonecnami, tak povedali =L, ale v pozadí to znamná, že 1/niečo sa začalo rovnat=0. To je to čo píšem celá čas, nechcu to tak pomenovat ale k tomu to vedie.

A celá to teda padá na tom ako je definované nekonečno v matematike, aktuálne nie poteciálne nekonečno. Ak raz tam taka definícia je, existujem pojem s ktorým je možné operovat. Ty sa nateraz tvariš, že nie nie, to matematika take nieco nema, ona nema nekonecno, kdeze ani ich neporovnava.

interpretacia je vec aplikacie, nie matematiky. Ty sa snazis vydolovat to co tam nie je, samzorejme ze limita bola zavedena presne na to aby sa dali riesit prakticke otazky ale matematika potrebovala korektny nastroj, ktory poskytol exaktne to co chapes intuitivne ( blizenie sa do nekonecna, vypocet v nekonecne atd. ) To nie je otazka pomenovania, ale toho ze sposob ako to robi matematika odstranil mozne paradoxy.

Dal som ti postup ako vytvorit paradox, ty si uvadzal cantorov dokaz, že mohutnost realnych je väčšia, ja som ti ukazal vypočet cez LIMITu, že ich je tam stale iba alef0. Tak sa spor našiel. Kedže nevieš posudit to čo som ti napísal ako dokaz kolko je tam tých čísiel na interval 0-1, nenasiel si tam nič, čo odporuje platným definíciam vrámci limit, či dedekindových rezov.

A limita je iba technika ako take L najst, take ktorému zodpovedá s nekonečnami toto: 1/nekonečno=0. Pričom sam dobre vieš, že existuje rozšírená grupa kde sú definované veci:

a/nekonečno=0

0*nekonečno= nedefinovane

nekonečno/nekonecno=nedefinovane

a pod