Mohutnosť nekonečna

Tyso

Aj tak sa to dá formulovať, ale napríklad z definície: http://sk.wikipedia.org/wiki/Limita jasne plynie, že limita sa nikdy nerovná hodnote L, ku ktorej sa blíži, lebo vždy dokážeme nájsť také epsilon > 0, že platí |f(x)-L| < epsilon pričom delta sa nerovná nule. Je zaujímavé, že k tomuto, na pohľad, „slovíčkareniu“ nezávisle dospeli taký géniovia, ako Newton a Leibniz. To nemôže byť predsa náhoda.

tono, zle to citas :) limita sa rovna L, funkcia sa nerovna limite :)

Tyso

L je pre limitu aj funkciu rovnaká hodnota. V definícii v tom odkaze pre spojitú ohraničenú funkciu f( x ) platí L = f( c ). Teda definíciu môžeme tiež napísať |f( x )-f( c)| < epsilon. Funkcia sa nerovná limite preto, že limita nevyžaduje podmienku aby bolo delta = 0, lebo len ukazuje na hodnotu funkcie f( c ). Preto definícia limity pozná aj pojem pravého a ľavého okolia bodu c. Funkcia nie.

Dôvod, prečo v definícii limity nie je L = f( c ) je ten, že limita je definovaná aj pre nespojitú funkciu. Napríklad funkcia f(x) = 1/(x-1) má limitu zľava –nekonečno a zprava nekonečno, ale funkcia v bode 1 nie je definovaná, lebo 1 nie je v definičnom obore tejto funkcie.

Samozrejme je to len moja interpretácia.

tono

a ked rataš integral či deriváciu, ci dobehne achilles korytnacku a pod. Tak výsledok je rovný L. Teda výsledok je presne rovný L. Tyso sa vyhovara na definicie, pričom je jasné, že to je myslené tak, že ta hodnota L je výsledok diferenciálneho počtu a teda sme povedali ze v nekonečne tu hodnotu dosiahneme, urobili sme rovná sa =L

Robopol

V princípe by sa dalo povedať, že máš pravdu a pre spojitú a ohraničenú funkciu platí pre funkciu a jej limitu hodnota L. Ale definícia limity existenciu tohto bodu nevyžaduje, ale funkcia áno. Ak limita existenciu tohto bodu priamo nevyžaduje a jej hodnota je L, tak existencia limity nie je ešte dôkazom existencie tohto bodu. Nemusí to byť vždy nekonečno. Napríklad funkcia f( x ) = tanh( 1/x ) má v bode 0 limitu zľava -1 a limitu zprava 1. V bode 0 nie je limita definovaná. Môžeš sa infinitezimálne blížiť k bodu 0 zľava, alebo zprava, dostaneš reálnu hodnotu -1 alebo 1. Teda donekonečna môžeš zmenšovať interval delta x a nedostaneš sa do bodu 0, ale po bod 0. Limitu asi nemôžeš použiť na dôkaz existencie hodnoty fukcie. Limita zľava a zprava sa niky „nestretnú“, lebo ich „oddeľuje“ bezrozmerný bod. Ak limita zľava a zprava sa rovná, mohol by to byť dôkaz existencie tohoto bodu, ale ty si delil interval, čo je limita iba z jednej strany, tak ako achilles dobieha korytnacku.

Tono,

Nejde o definiciu. Ide o to čo sa skutocne v matematike robí. Výsledkom integrálu plochy je presná hodnota. Teda číslo L je výsledkom takejto limity ku ktorej sa napr. ta funkcie približuje. A teda matematika hovorí, že achilles korytnacku dobehne súčtom nekonečných úsekov. Teda, že dosiahne ten BOD L ako výsledok limity.

ale ja hovorim o ofunkcii plochy a jej limite. Ak porovnavas plochy, tak porovnavas funkcie pre plochu a tiez mas limitu a potom L=hodnota plochy

tono

integral, či derivácia je definovaný cez limity. Tak sa stale bavíme o limite lebo to je výsledok derivácie, či integralu. A limita je v matematike definovaná tak ako je Ale to číslo L je nedosuahnutelne, ale vzdy je výsledkom derivácie či integralu práve to nedosiahanutelne číslo, teda je v matematike dosiahnutelne. Nepiseme blízko bodu 2, napíšeme =2. Teda sme ho dosiahli. A práve tam je spor, nech to vyzera ako kolvek nevinne v matematike sa výsledkom nekonečného delenia teda cez aktualne nekonecno úsečka nenulovej dlzky zmeni na NULU, lebo limita je rovna nule.

Samozrejme, že na úsečke 0L je bod L. Ak by Achilles spravil vždy polovicu zvyšnej vzdialenosti medzi korytnačkou, súčtom takéhoto jednoduchého nekonečného radu dostaneš dĺžku L.

Do bodu L sa dostaneš, ak za n dosadíš nekonečno. Je ale nekonečno reálne číslo? Neexistuje také n, abý si sa dostal do bodu L.

ja tam nevidim problem, fyzikalne ked zacnes delit drahu, tak prides do oblasti planckovho casu a tam uz je delenie zrejme nezmyselne.

A k achilovi som uz na zakladnej skole mal odpoved :), kedze achille bezi a cele delenie drahy je len nase pozorovanie, tak mozeme delit drahu o kusok za cielom, a ziadny problem nevznikne. Nejde teda o skutocny problem ale len o problem nasej volby pozorovania. ( dnes by som dodal ze to je problem podobny tomu ze na pole mam singularitu zemepisnych dlzok )

_Tyso

_{Samozrejme, ide o matematický príklad. Dráhu si nemôžeš vždy voliť ľubovoľne. Sú situácie, napríklad stojaté vlnenie, kde sú konce úsečky pevne dané.}

No ved to tono. Do bodu L sa dostaneš v nekonečne. A to je práve ten sporný bod. Ten nepredstavitelne maličký kúštik k tomu bodu L je stále nenulový. No v matematike je výsledok rovný presne tomu bodu. Takže v matematike sa nekonečným delením úsečky dostaneš až k nule. A tato axioma sa tam dostala. Inak by nemohla existovat ani predstava priamky, ktorá je zložená z bodov, kde realne čísla na tom intervale všetky existujú a vyĺňajú tak ten interval bez medzier. A to je presne to z čoho následne vychádza spor. V matematike sa potom objaví, že takýchto bodov je nespočitatelne vela, teda viac ako alef0. Pričom takéto body, teda napr. transcendetne čísla sa ti objavia AZ v nekonečne.

Je to podobne ako ked chces zrátat súčet nekonečného radu pre Pi. Pre žiaden konečný krok neexistuje presná hodnota PI a preto sa hovorí o limite čísla PI, že existuje také číslo. Lenže pre ten Rad nemame taký jednoduchý súčet nekonečnho radu ako pre korytnačku, nemáme konečný počet operácii, ktoré by viedli k tomu číslu.

nie, nie je.

Pozri si este raz defioniciu limity, ta hovori limita L je lubovolne blizko ale nehovori o tom ze funkcia je rovna limite.

Pravdu mas pri sucte nekonecneho radu, tam skutocne matematika hovori ze sucet radu je rovny limite ciastocnych suctov. Ale zase ide o otazku definicie, nie dokazu.

A spor tam nie je :)

Samozrejme, že mám pravdu, lebo integrál je definovaný ako súčet nekonečného radu, A teda ak chceš vypočítat, či dobehne achilles korytnačku robíš súčet nekonečného radu a hladas limitu toho radu.

A pre deriváciu nerobíš súčet nekonečného radu ale hladas limitu funkcie pre ten vyšetrovaný bod

Cize hovorime o limite a nie o nekonecne. Limita nevyzaduje aby si siel do nekonecna, to je ta drobna zmena ktora odstranuje paradoxy. Scitavanie do nekonecna je ta povodna idea, tak to robil newton a leibnitz, ale preto stale do kola hovorim o limite ktora to obchadza.

Nobchádza to limita.

Aj pre súčet radu najdeš funkciu toho súčtu a vyšetríš to pre hladaný bod a nájdeš limitu. Tak ako to robíš aj pre deriváciu, kde spejes pre delta k nule.

no, praveze obchadza :), cielom je samozrejme mat rovnaky vysledok ako bol dovtedy ked suctovali do nekonecna. A preto tam ostava symbol nekonecna ale formalne tam ziadne nekonecno nie je. Limita funkcie je cislo, pre ktore plati ze rozdiel limity a suctu konecneho radu je mensi ako lubovolne zvolene cislo delta. pri dokazovani ci vyvrateni limity teda staci pouzivat konecne cisla, nepotrebujes ziadne nekonecna.

A teda sa nedostanes do ziadnych sporov ci nekonecno existuje a ci sa tam da dostat.

Ešte raz.

Limita je hodnota L, ktorú hladáš. Napríklad pre 1/x pričom sa približuješ čoraz viac k nule. A v bode nula je Limita takejto funkcie nekonečno. Keby si teraz povedal x je úsečka, ktorá sa bude delit na čoraz menšie úsečky napr. polovice, dostaneš funkciu =x/n, pricom n speje do nekonečna, výsledok takejto funkcie je teda 0. Ta nula je limita tej funkcie a TEDA = dosiahnutej hodnote 0. Teda si povedal, že nejakú nenulovú úsečku rozdelíš na nekonečne veľa úsečiek a ich dĺžka bude nulová. čim si nekonečným delením vytvoril "nic"- nulu. Súčtom núl ale nedostaneš pôvodnú úsečku. To je spor. Taký istý spor ako, že je interval úsečky x mohotnejší ako alef0

nie, ak povies ze v bode nekonecno je limita 0, tak si opisal co si pod tym predstavujes. Ale matematika takto limitu nezaviedla.

mas rad 1/n, a hladas limitu, co znamena ze hladas take cislo aby rozdiel 1/n - L bol mensi ako lubovolne male cislo. A viem sporom ukazat ze to plati len pre 0. Pre kazde ine cislo najdem take n aby ten rozdiel bol vacsi. A potom zavedies definiciu ze sucet nekonecneho radu je limita suctu konecnych radov. Nedokazujes teda ze naozaj ten sucet je taky ale jednoducho ho zadefinujes.

Tym sa vyhnes akymkolvek paradoxom.

ale vidim ze ty mas iny priklad 1/x kde x ide k nule, v takom pripade je to trochu inak. Tu limita nie je cislo, a tak mas pravdu ze tu si matematika "pomohla" nevlastnym cislom + nekonecno. To sa vsak da zaviest znovu definiciou ako cosi co je vacsie ako lubovolne cislo.

A takto zavedenie limity odstranuje paradox, kedze nescitavas nuly ale hladas limitu suctu konecnych nenulovych suctov. A tieto sucty konverguju a vies dokazat ze pre limitu plati ze rozdiel je mensi ako lubovolne male cislo.

Nesčitavas nuly, ale dospel si k nule cez limitu. Teda si povedal, že nekonečným delením je nula. To z toho totiz vyplýva. Maš funkciu x/n pre n spejuce k nekonečnu, výsledok je nula. Nula tyso. Ak ju dosiahneš, tak si prisiel k tomu, že nekonečným delením niečoho vznikne nič.

Ale ty sa hrozne bojíš si to interpretovat, mas pocit, že vo formalnom vyjadreni limity, je limita niekde mimo povodnej otázky, čo dostaneš nekonečným delením úsečky x.

nebojim sa to interpretovat, preto pisem ze limita je zavedena na to aby dala tie iste vysledky ako uvahy o nekonecne, len to robi sposobom kde ziadne nekonecno nevystupuje a teda nehrozi paradox. S limitou mozes pracovat a nemusis sa obavat ze ta niekde dobehne, kedze stoji na spolahlivych zakladoch. Ale pre seba si samozrejme predstavovat aj to ze pracujes s nulou a nasobis ho nekonecnom. Ale potom mas paradox ze nula . nekonecno je hocico, podla toho ako si k nule a k nekonecnu dosiel.

V presnej matematike to vsak tak nie je, funkcia x/n pre n ktore rastie nikdy nie je nula, nekonecno nie je cislo a tak pre nekonecno nie je definiovane co je vysledok. Limita ano ale nie je to vysledok funkcie.

a tak sa mi zbytocne snazis podsuvat tvrdenie ktore nemas ako dokazat. Kedze limita nie je vysledok funkcie, tak nekonecne delenie nie je. Hotovo.

ved vravím, že sa bojíš odpovedat :)

Ale nebojíš sa povedat, že výsledok akehokolvek integralu je presne nejaka hodnota, alebo derivacia nejakej funkcie je nejaka presna hodnota. Prečo si tam neni opatrny? tam nemaš problem napisat presne číslo?

ked nie je funkcia pre cislo definovana, tak jednoducho nie je. odvazna odpoved je hlupa odpoved.

Ak pouzijes definicie integralu a derivacie, tak vysledok je cislo. Ale nie je to sucet nekonecneho poctu nul ani delenie nulou.

A teda ak sa bojis pouzit presne definicie, tak to nedava zmysel. Mas spravny postup ako sa vyhnut nekonecnam a dostat vysledok toho co potrebujes ale odmietas ho pouzit a silou mocou chces nepresne uvahy, ktore vedu k paradoxom. A trvas na tom ze je odvazne ho pouzit :) ved ok, pouzivaj. Ak to dava dobre vysledky, tak to ma svoju cenu, co by sme dnes dali za dobru matematiku pri renormalizacii :)