Mohutnosť nekonečna

to su vagne slova ze zaplnas, nezaplnas, nie dost rychlo. Tvoje tvrdenie ze ked to bude nekonecny rozvoj, tak budu vsetky.

Ale to nie je podstatne, sice nesuhlasim ale nie je to dost konkretne tvrdenie aby som to vedel jasne dokazat alebo vyvratit.

Ak to sforumulujes ako dedkindovske rezy, tak ano, pojde to k vsetkym cislam, ale nie k ocislovaniu.

Este raz: ak chceme porovnat dve nekonecne mnoziny tak matematika hovori ze maju rovnaku mohutnost ak existuje priradenie. Ty si sa chytil delenia intervalu ale nedokazes ziadnemu prirodzenu cislu ani jedno iracionalne cislo. Teda to co mas nie je bijekcia. Ale to samozrejme nie je dokaz ze nejaka konstrukcia by to nedokazala. Tym dokazom je cantorov dokaz, ale ty si pozeral len zbezne.

a racionalne cisla priradim lahko, to sa robi prave maticou ako mas ty, a tam kazdej dvojici ik, zodpoveda jedno racionalne cislo, a lahkym cislovanim tychto dvojic po diagonalach mame kazdemu prirodzenemu cislu priradene jedno racionalne ( su tam detaily ze niektore su viac krat ale to je naozaj detail ), A tak mas jasne priradenie kazdemu prirodzenemu cislo si priradil prave jeden zlomok a naopak, pre kazde cislo urcis jasne partnera.

Ja ti rozumiem v čom maš problem. No iracionálne čísla majú nekonečný rozvoj a keď spoliehaš na ich existenciu, mal by si ich vediet presne umiestnit na tu os. Lenže to nevieš kde presne ležia. To nevie nikto.

A k tomu očíslovaniu. proste maš problém s tým, že takéto čísla sa objavia až v nekonečne, no ved pokial by si vedel ich umiestnit na realnu os, vyjadrit konečným zápisom tak sa neobjavia až v nekonečne. Tak je to proste dalšie tvrdenie, že tie čísla neexistuju a ich existencia sa objaví až v nekonečne. Cantorov dokaz nehovorí o konštrukcii realných čísiel, predpoklada, že také čísla tam sú ako je pi. A ja sa opytam nech mi ukaze zápis, či presnú polohu toho čísla a NASTAVA problém, nemôžem priradit celé číslo číslu Pi, ked on nemá nekonečný desatinný zápis toho čísla. Može mat takéto číslo ktoré nemá schvost, alebo ho ma iba v nekonečne?

Takže tie čísla su neurčite a presné su iba v nekonečne, to číslo existuje iba v nekonečne. Taketo transcendetne číslo neumiestnis s konečným počtom krokov na číselnú os. Takže ho nemáš, a predpokladáš, že ho máš na konečný počet krokov. Pretože sa ti nepači, že ja mu ho priradim až v nekonečne. A to ja zas dokážem, že ty nemáš také číslo na konečný počet krokov.

A keby som urobil prirovnanie k tej matici tak sa ti tam take čísla objavia az na konci k teho riadku, pre k=nekonečno. No stále je to LEN A LEN JEDNO ČISLO, ktore môžeme vyniesť na ten interval AKO 1 bod a pridelit mu číslo.

A ta istá konštrukcia maš interval 0-1, predeliš na 0-0,5 aj na intervale 0- 0,0000000000000000000000000000000000000000000000001 je ich stále nekonečne veľa, ako očísluješ ten zvyšok ked si minul na očíslovanie toho menšieho intervalu nekonečno?

robopol, co to znamena ukazat cislo ? mam funkciu napriklad e na x, a raj ziskam e ?

Alebo cislo je len to co dokazes nakreslir pomocou kruzitka a pravitka ? A ked ho dostanes ako vysledok funkcie tak tiez neexistuje ? Ale to si zase mimo matematiky, tak to cisla existuju berie ako axiom :)

A k priradeniu : ukazal som ako mozem ocislovat vsetky racionalne cisla, mam teda zobrazenie a podla definicie mohutnosti to znamena ze ju maju rovnaku.

no ved to čo to znamena definovat číslo? Pokial definuješ pi ako súčet nekonečného radu, musíš spočítat nekonečne veľa čísiel. A sme doma? Ja som to pracovne nazval, že ho presne určíš až v nekonečne, teda v desatinnom tvare ma nekonečne vela číslic za čiarkou. A teka číslo ty nemas, definoval si iba nekonečnú operáciu ako ho vyčíslit.

Ale podme späť k jadru ja hovorím, že moja postupnost čísiel vetvením limitne speje k 1*10 na alef0. Teda som limitne vycislil mohutnost, nepotreboval som robit bijekciu!

Naopak cantor ukazal, že sa to nedá ja som ukazal sposob, že limitne speje k tomu čislu z intervalu. To je jadro mojej argumentácie, môžem obíst bijekciu.

ale pi je definovane aj ako podiel obvodu kruhu a priemeru kruhu. A plno cisel nie je definovanych nijak, jednoducho su tam.

No a kedze si bijekciu nerurobil, tak sa neda o mohutnosti povedat nic :)

http://cs.wikipedia.org/wiki/Mohutnost#cite_note-B.C5.A077-0

citat:

Zatím jsme zámˇernˇe nechávali stranou, co vlastnˇe reálná ˇcísla jsou. Vlastnost, kterou se reálná

ˇcísla bˇežnˇe charakterizují, je spojitost: intuitivnˇe to znamená, že mezi nimi nejsou mezery. Urˇcitou

spojitostí, laicky mnohem snáze pochopitelnou, disponují i racionální ˇcísla: mezi každými dvˇema r ˚uznými racionálními ˇcísly lze nalézt další. Silnˇejší vlastnost, kterou požadujeme po reálných ˇcíslech,

má jediný cíl: formální infinitesimální poˇcet, tedy to co studenti znají pod pojmy limita, derivace

a integrál. Tuto vlastnost jasnˇe definoval Georg Cantor v roce 1872 právˇe pomocí pojmu limity a

ještˇe ten samý rok Richard Dedekind pomocí tzv. ˇrez ˚u. Princip Dedekindových ˇrez ˚u je jednoduchý a

neodvolává se na jiné oblasti matematiky. Uved’me ho tedy tak, jak ho nastínil sám Dedekind:

Jestliže se všechny body na pˇrímce dˇelí do dvou tˇríd takových, že každý bod z první tˇrídy

leží nalevo od každého bodu z druhé tˇrídy, pak existuje právˇe jeden bod, který vytváˇrí

toto rozdˇelení do dvou tˇríd, toto roztržení pˇrímky na dvˇe ˇcásti.

9

V pˇresné definici ˇrezu se jako onen dˇelící bod zvolí bud’ nejpravˇejší bod první tˇrídy nebo nejlevˇejší

bod druhé tˇrídy, za ˇrez se považuje toto rozdˇelení na dvˇe tˇrídy a za totožné se považují ˇrezy lišící se

nejvýše zaˇrazením dˇelícího bodu. Rezy se potom použijí pro konstrukci reálných ˇcísel z racionálních:

ˇ

každý ˇrez racionálních ˇcísel urˇcí nˇejaké reálné. Podrobnˇeji viz [3]. Zkuste toto zavedení reálných ˇcísel

vychutnat a uvˇedomit si, nakolik jsou odlišná od racionálních, pˇrestože to z popisu nemusí být na

první pohled vidˇet: zkuste tˇreba zkonstruovat odmocninu ze dvou jako ˇrez.

10

Za pozornost stojí také,

že není možné každé reálné ˇcíslo zapsat koneˇcnou posloupností nˇejakých dohodnutých symbol˚u

(ekvivalentnˇe lze ˇríci, že reálných ˇcísel je nespoˇcetnˇe mnoho). To proto, že mimo algebraických

reálných ˇcísel nám ˇrezy pˇrinesly nespoˇcetnˇe mnoho takzvaných transcendentálních ˇcísel.

zdroj: http://nohejl.name/pdf/cisla-2010.pdf

To len pre upresnenie, aby sme hovorili spoločným jazykom. Takže som tu nepísal žiadne haluze ked som písal o zobrazení takéhoto čísla na reaálnu os, pričom jeho vzdialenost od počiatku je hodnota realneho čísla a teda jeho definícia. Zároveň som hovoril o tom, že množina realných čísiel je úplne súvislá a TO je dosiahnuté pomocou Dedekindových rezov. Takže aj to bola pravda, že "transcendetné čísla sa vytvoria práve ako limitné prípady" .

A teraz tyso argumentuješ dost formálne, nemyslím si že pre zistenie početnosti množiny je jediným kritériom práve bijekcia. Ak rozšírim na svojom intervale množinu racionálnych čísiel o dalšie medzi nimi dostanem súvislú množinu. Zároveň aj to nebola pravda (že sa realne čísla nedajú usporiadat), pretože v takejto množine je zavedný axióm o usporiadanosti. A ked je tam taky axiom myslím, že aj to bolo nesprávne čo si tu tvrdil.

tak sa vratme k jednoducho k otazke coho je viac, ci prirodzenych cisel alebo ich druhych mocnin. Bijekcia je jasna, ale zaroven tiez je akosi jasne ze prirodzene cisla obsahuju vsteky mocnny ale aj nejake cisla navyse a ze teda ta druha mnozina je podmnozinou. A to je zrejme jeden inuitivny problem. A ked uz teda povies ze ok, tak nekonecna su rovnake pretoze su nekonecna, tak tu mas dokaz ze niektore su viac nekoencne a s tym sa uz nechces zmierit :)

a len tak boko, axiom o usporiadanosti s tym nesuvisi, Ten hovori inym slovom to co je intuitivne jasne ze realne cisla vieme porovnavat a ze sa chovaju "normalne" , s tym ci ichj vieme usporiadat do radu to nijako nesuvisi. To ze vzdialenost od od 0 je jeho hodnota je pravda ale to je len jedna interpretacia,

Nie že by som sa nechcel zmierit, to ma vobec netrápi, pretože to je vzdušný zámok to o čom sa bavíme. To nemá nič spoločné s realitou :) Ja som toho názoru, že aktuálne nekonečno je tam sporne. Kedže sa do matematiky nejak dostalo, myslím si, že je v nej kopu sporov.

A práve to čo píšeš o množine a podmnožine, tak práve to je to, že pri reaálnych je už ICH viac ako prirodzených. Ja rozumiem, že neurobím korektnu bijekciu z množiny realnych na prirodzene. Problémov je tu viac, ja si myslím, že ten cantrov dokaz sporom je sporný sám o sebe.

Tebe sa zas nepači, že vyčislim mohutnost množiny a neurobil som bijekciu. Ale bojekcia je nastroj na porovnavanie množin, a kedže nie je možné ju urobit lebo su tam nekonečná, tak vyhlásiš, že množina realnych je väčšia. Ale to je divne, už len záver, že sú menšie a väčšie nekonečná je výsledok, ktorý je divny.

A ešte volne úvahy k tým rezom a vôbec k limite. Limita je ako ten dedekindov rez. Vieme, že napr. nikdy nedospejeme k transcendetnému číslu delením racionalnych. A v tom je to, že zrazu POVIEME, rozšírime svoju množinu o nemožné a to transcendetme čísla a začneme sa tvarit, že sú tak tesne vedla seba, že už tesnejšie nemôzu byt, pričom NIE SU NA JEDNOM MIESTE V JEDNOM BODE NATLACENE. To cele je podla mná sporný koncept, sporny sam v sebe v tých vzdušných zámkoch.

A pre tona.

Matematika nevyriešila zenonove aporie, iba zaviedla dalsie axiómy, ktore to obisli. Ale pre našu realitu v tomto svete a nie v matematike to nie je zodpovedane, vyzera to tak, že svet je dikretny, aj ked zenon aj v tom nasiel problem, tu by bolo zaujimave sa pobavit o tom, pretože mne sa zas nepozdava jeho argument prave k tomu že diskretne vedie k sporu.

Robopol

Áno, diferenciálny počet definíciou limity zenonov problém nevyriešil, ale obišiel. No treba uznať, že elegantne. Ja sa tiež prikláňam k názoru, že prírodné zákony v svojej najintímnejšej podstate nie sú „analógové“ teda spojité, čo vlastne diferenciálny počet akoby vylúčil z hry. O tom svedčí aj kvantová fyzika, kde limitou je princíp neurčitosti. Ale k vašej diskusii. Ak na číselnej osi dokážem medzi dve reálne čísla umiestniť nekonečne veľa ďalších reálnych čísel, je zrejmé že to s fyzikou nemá nič spoločné. S takouto interpretáciou by sme nemohli spojiť časopriestorové udalosti. Tie musia mať konečný počet a tiež následnosť. Teda vo fyzike nemôže platiť, že každá krivka má rovnaký počet bodov, nekonečno. Matematickú predstava číselnej osi, kde reálne čísla predstavujú vzdialenosť od stredu sa nedá aplikovať vo fyzike, kde bod predstavuje časopriestorovú udalosť. Ak si predstavíme súradnicové osi x, y a nejakú spojitú funkciu, tak každému bodu z intervalu definičného oboru funkcie na x ovej osi musíme pre reálnu fyzikálnu funkciu priradiť bod na osi y. Teda ich počet musí byť konečný. Pre nekonečný počet N bodov by platilo aj N=2.N, čo by asi porušilo kauzalitu.

Tono podla matematiky je medzi dvoma racionálnými číslami aj kde si velmi velmi blízko seba stále nekonečne veľa čísiel. No stále je to málo, lebo nezískame cez ne napr. transcendetné čísla, keby si napr. vystrelil šíp do terča tak pravdepodobnosť, že ti dopadne šíp s nekonečne malým hrotom na racionálne číslo 0% a 100%, že trafí tie iracionálne. Teda su tak strasne blízko naskladané vedľa seba, že nepostačuje nekonečno prirodzených čísiel.

Ale fyzika používa aparát matematiky a tak používame pre fyziku to čo platí v matematike.

No ked je v matematike definovaná úsečka ako sled po sebe idúcich bodov medzi ktorými nie je medzera, pričom samotný bod némá žiadnu hrúbku, tak to je ako keby sme pripočitavali nulu a vytvorili úsečku :) Teda ja sam neviem pretože každý kto začne písat o tom sa snaží vyklučkovat z toho, začne prechádzat do zložitejších definícii, k limitám ale neodpovie ti na otázku, či limita JE konečný stav alebo nie je. Povie, že existuje limita a vyhne sa otazke, či sip doleti do ciela, alebo ci dobehne korytnacku achilles

A taktiež ten dedekindov rez. ze existuje bod, od ktorého su všetky nalavo a všetky napravo. Ale to by muselo byt zase nieco medzi tým bodom čo je v strede a je nalavo a napravo a takto donekonečna, potom by bolo vlastne niečo nalavo a niečo napravo od toho bodu, keby to nalavo a to napravo bolo v tom istom bode?:)

ten spor v matematike je ten,

A, že maš bod a všetky body nalavo a napravo sú od seba vzdialené tak, že medzi nimi nic nie je.

B, Ak je niečo nalavo alebo napravo tak medzi nimi medzi bodom v strede a napravo nalavo niečo byt musí inak by nalavo a napravo nemohlo existovat

iste, pojem bod nema ziadny fyzikalny obsah. Zahada je ze to ale funguje, dokazeme popisat co sa deje v prirode.

Ale deju sa aj horsie veci, v topologii bola veta o tom ako sa da rozdelit napriklad gula takym sposobom aby z nej vznikli dalsie gule. A tuto vetu nakoniec pouzili pri kvarkoch a fungovala.

Ja sa ešte raz vrátim k tomu môjmu príkladu s odvaľujúcim sa kruhom po krivke, aj keď na to nikto nereagoval. Ak mám nejakú množinu bodov (obvod kružnice s polomerom R) a inú množinu (úsečku 2.Pi.R) trajektória odvaľujúcej sa kružnice, každý bod kružnice by mal mať jedno-jednoznačné priradenie k priamke. No a ak sa kružnica neodvaľuje po priamke, ale krivke, tak to neplatí. Skrátenie, alebo predĺženie trajektórie nie je problém, ale porušilo sa priradenie bodov.

Poviem to celkom triviálne. Máš maliarsky valček a chceš na misku nakresliť farbou pásik. Z vnútornej strany misky potrebuješ menej farby, ako z vonkajšej. Dĺžka plechu misky je rovnaká.

ale v nekonečnej mnozine to tono nie je problem. Mohutnost úsečky realnych čísiel je rovnaká ako priamky. Tak to je v matematike.

Ako vidíš, pre mňa je aj tento jednoduchý príklad s valčekom a farbou problém.

Ale, ak sa mám držať témy, numerické riešenie diferenciálnych rovníc vychádza priamo z definície limity. No keď skracujeme interval, blížime sa k limitne k nule. No je ti jasné, že takto riešenie nikdy nedosiahneme, lebo by sa diferencia v menovateli blížila k nule a trvalo by nám to nekonečne dlho. Analytické riešenie môžeme dostať za pár sekúnd, takže existuje.

Tono,

Zrejme som asi nepochopil ako to myslíš, že farby je menej na vnutornej strane ako vonkajšej. Ak maš hrúbku plechu zanedbateľnu prečo by sa mala plocha na vnútornej strane zmenšiť?

Ale prečo tono, ak maš hrubku plechu zanedbatelnu tak nemôže byt plech dlhší z jednej strany viac ako druhy ked je ohnuty. Ja tomu nerozumiem prečo by to tak malo byt.

A kde sa da niečo o tom dočitat? Mne to pride dost uletene :)

Ale k tomu diferenciálnemu počtu numericky ako si písal sa dopracujeme k nejakemu nepresnému výsledku čím viac zhustujeme siet. No nemôžeme ju zhustit natolko aby vzdialenosti boli medzi nimi nulove. potom by sme musel spočítat nulové úseky a to je nula. A preto niekto prišiel a povedal, urobme toto, ked vidíme, že delením zhustovaním intervalu SPEJEME k nejakej hodnote, tak povedzme, že v nekonečne je to hodnota L teda výsledok limity. Cim vlastne povedal, že ta hodnota sa dosiahne. Inak by vo výpočte nikdy achilles korytnačku nedobehol. A teda to nie je riešenie to je VYMYSEL, ktorý sme dali ako axióm, no A POKIAL tam takýto axióm je dostaneme paradox zase inde.

Tono,

ved ale to nie je matematika, hrniec ma hrúbku a je z materiálneho sveta. Takže to nebude žiaden paradox, nemas ani dokonalý kruh a minca sa lepsie odvaluje ked je jej zakrivenie rovnake ako opačne. To nie je žiaden paradox.

limita hovori nieco ine, hovori ze ju mozes brat ako dobry odhad kedze chyba je urcita mensia ako lubovolne zvolena mala hodnota.