Mohutnosť nekonečna

Tak je fajn, že si ju cital, nemusis byt okamzite averzny na to, že zase o niečo ide autorovi. Mne sa kniha pacila, lebo to nie je iba o tom ako co zapisat, sled dokazov a viet až sa to stava necitatelne, o to slo autorovi.

Ty si najskor ani nesuhlasil s tým, že matamatika v teorii množin by mala mat nekonečno. Pričom tam nekonečna sú, len sa inak nazývajú.

Aktualne nekonecno je uskutocnené nekonečno, ako úplny zoznam prirodzených čísiel. Nic sa tam neaktualizuje ani nechýba. Ale bijekciu množín robíš nie celej množiny na druhú. robíš to ako ked odiaľuješ ten obzor, teda aktualizujes. To znamená ked najdes nejaké číslo tak môže byt znova a znova a znova vždy väčšie číslo, ktoré znova tou aktualizáciu priradíš tomu z tej druhej množiny.

Bijekciu teda nerobíš ako úplne porovnávanie dvoch množín, ale používaš aspekty s odialovaním obzoru, a aktualizáciu. Co nie je možné pri chápaní úplnej množine cantarovským sposobom.

matematika ma nekonecno tym ze ho dala do axiomu, inak ho nepotrebuje. Nerobi ziadne nekonecne priradovania ak ziadas ani nic podobne. To je nas staly problem, ty si vytvaras vlastne predstavy ktore nie su zalozene na matematickom formalizme. A rovnako mozem povedat ze bijekcia je dana a ziadnu aktualizaciu nepotrebuje. Ked poviem ze EXISTUJE take zobrazenie ktore je jednojednoznacne, tak hovorim o existencii a teda ziadne potencialne cosi v tom nie je, ty hovoris ze existuje postup, ktorym priradis jedno cislo druhemu a potom pokracujes dalej. Miesto existencie si tak zmenil zadanie na tvorbu algoritmu a ten nikdy neskonci. Ale to nie je zobrazenie :), to je algoritmus.

Zobrazenie bud existuje alebo nie, nie je v tom nic co sa tvori postupne. A tak nepresne pojmy ta vedu k nejasnym tvrdeniam.

Ja by som potom mohol povedat ze ziadny uplny zoznam prirodzenych cisel neexistuje, vzdy mas nejaky horizont za ktory nevidis a ked sa k nemu dostanes tak aktualizujes. A teda nikdy neziskas uplny zoznam prirodzenych cisel. Ako vidis pouzil som presne tvoje slova a dostal som opak tvrdenia.

V matematike ak poviem ze existuje N ako nekonecna mnozina (prvkov x ) , tak rovnako eixstuje aj mnozina usporiadanych dvojic ( x,x) co je relacia medzi N a N. Ak existuje prva mnozina tak existuje aj druha mnozina. V com je teda toto zobrazenie potencialne ? Pripadne aky je rozdiel medzi prvou a druhou mnozinou ?

Ale ako porovnavas bijekciou uplne množiny? to by ti nestacil celý papier vo vesmíre, aby si ju dokazal porovnat. Tak ako porovnavas všetky prirodzene k párnym?

urobis toto:

1-2,2-4,3-6 atd. Takže ukazat to môžeš na lubovolne velkej konečnej množine a tu aktualizujes, čo ine by si tak mohol robit pri bijekcii všakže. to je celkom jasne ako sa prevádza bijekcia.

A tak môžeš urobit aj takúto bijekciu:

2^n=n

1-2

2-4

3-8

4-16

...

a to je to com som písal pre realne čísla v binarnej sústave ich je 2^alef0

A to čo ti popisujem je Bolzanov prípad nekonecných množín.

A teraz si zober, že existuje pojem úplna množina realnych čísiel. To je tvrdenie A. cantorovou diagonalou vytvorim číslo B, ktoré tam nie je. To odporuje priamo úplnosti množiny A. Takže si vytvoril paradox, Ak poviem, že existuje úplná množina realnych čísiel, nemôže platit zároveň, že cantorovou diagonalou vytvorim číslo, ktoré nie je v pôvodnej množine. Takže môžes akurat povedat, že množinu ktoru si mal k dispozicii na cantorov dôkaz nebola úplna. To neznamená, že taka neexistuje. To by viedlo k paradoxu. a preto hovorím, že cantorov dokaz je nesprávny.

a ako vobec zapises uplnu nekonecnu mnozinu ?, Ved to je ten isty problem, nie ? Ak existuje moznina N, tak urcite rovnako existuje aj mnozina n,n,

a rovnako ako existuje n,n*n .

Ako mozes povedat ze ta prva existuje aktualne ale tie dalsie nie ? Na zaklade coho si tak rozhodol ?

A teraz si zober, že existuje pojem úplna množina realnych čísiel. To je tvrdenie A. cantorovou diagonalou vytvorim číslo B, ktoré tam nie je. To odporuje priamo úplnosti množiny A. Takže si vytvoril paradox, Ak poviem, že existuje úplná množina realnych čísiel, nemôže platit zároveň, že cantorovou diagonalou vytvorim číslo, ktoré nie je v pôvodnej množine. Takže môžes akurat povedat, že množinu ktoru si mal k dispozicii na cantorov dôkaz nebola úplna. To neznamená, že taka neexistuje. To by viedlo k paradoxu. a preto hovorím, že cantorov dokaz je nesprávny.

 

lenze chyba je hned na zaciatku, to ze existuje uplna mnozina R nie je totozne s tym ze mozeme vytvorit zoznam, zoznam mozeme vytvorit len pre spocitatelne mnoziny. Zoznam totiz znamena presne to, mozeme kazdemu prvku pridelit poradove cislo a to znamena ze ma mohutnost alef.

A ak nemas zoznam, tak nema ako pouzit cantorov diagonalny postup.

A teda stale nechapes cantorov dokaz.

Ja som predsa nerozhodol, či existuje úplna množina prirodzených čísiel. To mas v axiomoch. A teda vychadzam z toho co je axiom a teda hovorím len o vnútroných nedostatkoch tej teorie s aktuálnym nekonecnom a jeho neaktualizáciou.

A ty predsa musíš ukázat ako robís bijekciu úplných množín, lebo ty to maš v axiomoch, dokonca porovnavas mohutnost tých množín, tak nech sa pačí ako urobíš bijekciu úplných množín? :)

ved som ti ju prave spravil, Mas mnozinu N (prvky n), a vytvoril som mnozinu usporiadanych dvojic ( n,n) teda trivialne zobrazenie prvku na seba sameho. Ak existuje N ( to tvrdi axiom) tak existuje aj mnozina zobrazenia. ( to je dosledok axiomu nahradenia )

Mam teda bijekciu nekonecnej mnoziny na nekonecnu mnozinu ako si chcel a vysledok je mnozina

Ziadne uvahy o nekonecne som nepotreboval

Neurobil si ale úplnu bijekciu ja nevidím všetky čísla z tvojej množiny a taktiež nevidím to priradenie. Ake je napr. posledné číslo v tvojom zozname prirodzených čísiel? Ty mi tu ukažež nejaký konečný zoznam a jeho priradenie a hovoriš, že si mi ukázaa úplný zoznam priradených čísiel? Tak to je argumentácia:)

ropobol, ak mi ukazes posledne cislo v zozname prirodzenych cisel tak ti poviem co ma priradene :)

Tak bud suhlasis ze existuje uplna mnozina prirodzenych cisel ( a to co nemozes ziadat u nej, nemozes ziadat ani u ziadnej dalsej nekonecnej mnoziny) alebo nesuhlasis a potom odmietas axiomy teorie mnozin.

A co je na mojej bijekcii neuplne ? :) z mnoziny N som urobil mnozinu Fn, kde som len ku kazdemu prvku n pridal ten isty prvok n. Presne v zmysle mnozinovych operacii. Vysledok je mnozina a ma rovnaku mohutnost ako N .

No preto lebo hovoríš, že existuje bijekcia úplnej množiny prirodzených čísiel napr. na párne, len to ukazuješ vždy na nejakom lubovolnom konečnom n. A to ma byt dôkaz pre úplne nekonečné množiny? Tak to hop. preto som písal, že bijekcia je nástroj pre konečné množiny, ktorého horizont môžeš oddialovat a aktualizovat. Lenže to ty nemôžeš, ty tvrdíš, že maš taký zoznam aktualne a zaroven tu basnis, že bijekcia TO ROZHODLA. Ale to nie je pravda, ty si neukazal bijekciu nekonecných množín, ty si ukál nejakú podmnožinu konečnu a jej priradenie. To je rozdiel.

nie, robim to pre vsetky prvky mnoziny N :), kedze N je mnozina tak to je povolena operacia. Ak N je mnozina tak mozem pouziit vsetko co sa s mnozinami moze robit. a nasobenie N x N je povolena operacia vysledok je mnozina usporiadanych dvojic (n,n) Ak sa ti to nepaci, tak si musis vybrat ine axiomy :)

urob mi teda to co povazujes za tak silny argument ako je bijekcia, už naozaj pre nejakú úplnu nekonecnú množinu. Ja chcem vidiet to priradenie aj tie cleny, prvky množiny, nie len zapis (n,n) :) Preco ma chceš zavádzať, že máš také priradenie, ked mas vzdy len nejake konecne? Hm. Ako môžeš tvrdit toto je dôkaz pre nekonecne množiny, ked si ani raz neurobil, ani nikto pred tebou a za tebou take priradenie pre nekonecne množiny aktualne nekonecné bez aktualizácie.

Pamatas si ako si zebronil nech ti dam poradove číslo PI? ale ved ty nevieš kde maš koniec u tej úplnej spočitatelnej množiny prirodzených čísiel.

Aspon vidis silu matematiky :), ked mas funkciu y =x, tak tiez nemas nikde zoznam vsetkych y a x a napriek tomu funkcia existuje. Ukazal som ti dokaz ale odmietas ho, tak zase sme pri limite toho co dokazem a co nie :). Vysiel som z axiomov a dokazal som ze existuje mnozina priradenia a ze je nekonecna. A tebe sa dokaz nepaci. Lenze to je potom tvoj problem, nie matematiky.

Este par prispevkov si tvrdil ze mnozina N existuje ako aktualne nekonecno, tak som ti ukazal ze bijekcia je na tom rovnako ale to sa ti nepaci.

Lenze v matematike to tak nefunguje, ak sa zhodneme na axiomoch, tak musime dojst k rovnakym zaverom, bez ohladu na to ci sa nam pacia alebo nie. Nemozes si vyberat co sa ti paci a co nie. Axiomaticka teoria znamena ze nic nie je samozrejme alebo intuitivne, vsetko musi byt v axiomoch alebo to z nich musis dokazat. Mnoziny su takou teoriou a musis sa s tym zmierit.

A ked k tomu pridas Godela, tak plati ze existuju vyroky, ktore sa nedaju dokazat ani vyvratit v ramci axiomov. Ale to co ide dokazat, to povazujeme za pravdive ak prijmeme axiomy.

Ale tu ide o nieco celkom ine. ked postulujes axiom o niečom čo ma byt nekonecne, tak nemôžeš povedat, že bijekcia dokazuje, že množiny majú rozdielnu mohutnost ked to robis IBA pre konecne množiny a NEMAS ako to ukazat pre NEKONECNE mnoziny, mas len konecne pero a papier aj myslenie.

Existuje v matematike N ako aktualne nekonecno v matematike, cim som nepovedal, že s tým suhlasím, ale ze budem vychadzat z toho co je prijate, aj ked to nevedia dokazat.

A nezhodneme sa na tom, že množina realnych čísiel je väčšia ako prirodzených lebo tam sa spoliehas na dokaz, ktorým je cantorova diagonala.

Zaroven ti ja viem ukazat bijekciu cisiel

(n,10^n)

podla nejakých zahadných pravidiel už výraz 10^alef0 je continuum. Podla mna je to stále alef0. Nie je ziaden dôvod pre limitu lim (10^n)= nieco viac ako alef0 teda aktualne nekonecno.

Ktore operacie zakazujes s nekonecnymi mnozinami ? Kedze teoria mnozin tvrdi ze N je mnozina, tak mozes robit vsetko to co s konecnymi mnozinami.

A kedze odmietas matematicke dokazy, tak sa naozaj nemame ako zhodnut :)

Dokaz :

http://en.wikipedia.org/wiki/Cantor%27s_theorem

Možeš to rýchlo uzavriet ak vysvetlis preco 2^alef0= c

ved presne na to mas odkaz, a dokaz. 2 na alef0 je mohutnost mnoziny vsetkych podmnozin,

No nasiel som co si pisal o axiomatickej ZFC teorie mnozin, kde sa napr. Russlleov paradox a väčšina paradoxov odstranuje. Tie paradoxy obsahovala povodna naivna teoria množin. Takže to je vyriešene. Aj ked pre mna ten formalny jazyk tych dokazov je necitatelny. Ja neviem ako sa v tom moze niekto dobre orientovat pokial do toho nehladel pol zivota aby si osvojil tu formalny jazyk matematiky.

A nasiel som napr. toto:

str.64, 65 zdroj:http://thales.doa.fm...mno20101216.pdf

tam ukazuje ako sa scitavaju kardinalne čísla

a ako alef0+alef0=alef0

Mne tieto ich dokazy vobec nie su jasne, to je jak cinstina, kto ma tomu rozumiet :)

dal som ti odkaz na dokaz a mas tam aj take pomerne slusne vysvetlenie dokazu, len je to po anglicky. Lepsi som nenasie, ale hladaj cantorovu vetu mozno najdes

Ved mne to nie je jasne ani v slovencine, a ten link co som tu postol, tam to je presne napisane, len pre mna su taketo dokazy necitatelne. Ja to neviem posudit taky dokaz, je to zmes symbolov a tak by som musel obetovat tomu vela casu, aby som sa do toho dostal. Ale toto nie je pre bezneho citatela pochopitelne, to je cinstina:)

Niekedy mam pocit, že to je tak naschvál:) Aby nezasvätený do toho nemohol vniknut

no je to vlastne ten diagonalny dokaz len inak podany :), skusim ho vysvetlit na mnozine N

Ale musis sa snazit ho pochopit az potom ho zacni vyvracat :)

1. Mame mnozinu vsetkych podmnozin P mnoziny N, ( teda prazdna mnozina, ( 1), (1,2), (1,2,3) , (4) atd )

2 predpokladajme ze existuje priradenie, teda funkcia f(x), ktora postupne kazdemu n priradi jednu takuto mnozinu a dokazeme teda ocislovat VSETKY podmnoziny.

Vsimni si ze niektore n vytvaraju podmnoziny, ktore obsahuju n (odkazujem na obrazok v dokaze, )

Ak n vytvara takuto mnozinu, tak ho volame sebecke, inak je nesebecke.

A teraz ide dokaz, definujme podmnozinu B ktora obsahuje vsetky nesebecke cisla, kedze ide o podmnozinu, tak je urcite v P a teda existuje nejake cislo d, ktore ju vytvori B = f (d) ,

mame dve moznosti, bud je d v mnozine B a je teda nesebecke cislo alebo je mimo nej.

1. ak je v nej, tak mame spor kedze f(d) vytvara B a je teda sebecke.

2. Ak v nej nie je, tak je nesebecke a malo by v nej byt.

Obe moznosti vedu k sporu a teda nie je mozne aby sme mali funkciu f, ktora cisluje vsetky podmnoziny. Mnozina vsetkych podmnozin musi mat vyssiu mohutnost ako N, a kedze mohutnost P je 2 na alef, tak je to c.

Tomuto som rozumel, ale vdaka za ochotu. Mna zaujíma ako prisli k číslu 2 na alef0 ako k mohutnosti čísiel. Ide o kombinácie, binomickú vetu ci?

Ked som ja rátal čísla tak som mal p=lim 10 ^n, pre n spejúce do nekonecna

pri binarnom zápise to je p=2^n, pre n spejuce do nekonecna.

Toto ma zaujalo, že dosli k 2^n=C. na to som sa pýtal.

A potom ako chceš očíslovať množinu Alef0*Alef0 =Alef0 ?

2 na n je mohutnost mnoziny vsetkych podmnozin o ktorej vieme dokazat ze ma vacsiu mohutnost ako povodna mnozina.

Je to ciste kombinatorika.

A ocislovanie alef * alef, to su vlastne racionalne cisla a sposob ich ocislovania je vyssie.

Takže ide o kombinácie. Aj ked nerozumiem preco nie 10^n. kedže tu nejde o binomické množiny.

ak teraz k dôkazu:

To je paradox holiča.http://sk.wikipedia....dox_holi.C4.8Da

2 na n je najmensie kde to vieme dokazat, 10 na n je len rozsirenie rovnakej mohutnosti.

Nie, to nie je tento paradox. Samotny holic ma lahke riesenie, jednoducho neexistuje. Problem je to len v teorii mnozin, kedze to ukazuje na spor medzi predpokladmi, kedze sme formalne spravne vytvorili mnozinu ktora vytvara spor. Ak vytvoris teoriou, ktora nemoze vytvorit taketo paradoxy, tak to problem nebude.

Pri dokaze sme vytvorili predpoklad ze existuje zobrazenie a to viedlo k sporu, vysledok je teda len to ze taketo zobrazenie neexistuje, to nie je paradox. To je dokaz sporom.

Ale ten dokaz je identický ako pri paradoxe holica, jeho logika je taka ista, preto ti vznika ten spor.

Ale my sme sa bavili, že či očíslujeme všetky realne čísla. A mali sme limitu 10^n. Kde tam vzniká spor? No nevzniká tam nikde spor ked ideš priamo a nie kontraproduktívne ako pri cantorovej diagonale, teda sporom.