Mohutnosť nekonečna

paper nick

ak sa pozrieš na maticu, ktorú som priložil, tak je jasné, že aby si mohol zmenit poslednú guličku vyždajue to, aby si mal rovnaký počet riadkov a stlpcov guliciek, čo je ta stvorcova matica. Lenže matica racionálnych čísiel nie je štvorcová matica. Je 100% ze ti tam budu v takejto matici chybat aj racionálne čísla.

ked zacne zoznam napr.

0,1

0,11

0,111

atd

je štvorcová matica, ktorá nepokryje racionálne čísla z intervalu 0-1,11111....

tak v takejto matici sa nikdy neobjaví čísli napr. 0,11111110111111.....

čo je tiež racionalne číslo a neobjaví sa v zozname a matica je taktiež nekonečná. Toto je dôkaz, že aj pre racionálne čísla dojde v cantorov dokaze k sporu.

A preto je cantorova diagonala sporna sama o sebe, pretože samozrejme zavisí od toho ako sa preukazuje spor.

Na 'diagonalnom dokaze' http://en.wikipedia....agonal_argument mi vadi asi toto:

Ak vezmeme N binarnych cislic, vytvorime z nich 2^N kombinacii, inak povedane, existuje 2^N (navzajom roznych) binarnych cisel o dlzke (zapisu) N.

Cantor vezme nekonecne vela binarnych cislic (vyslovne to neuvedie, ale myslim ze mysli aleph_0 binarnych cislic). Z nich sa da vytvorit 2^aleph_0 kombinacii (co je aleph_1). Cantor povie, ze kombinacie mozno ocislovat, ze dokaze priradit kazdej binarnej kombinacii prirodzene cislo, ktorych je aleph_0 (< aleph_1 ).

Po tomto uvodnom vyhlaseni, ze cierna je biela, dokaze uz hocico (okrem uputania mojej pozornosti).

robopol, suhlasim s tym, ze nesulad je uz v zozname racionalnych cisel (v binarnej forme), ktorych ma byt nekonecne (ale spocitatelne) vela, a zaroven sa medzi nimi daju nachadzat dalsie, ktore sme (z neuvedenych pricin) do povodneho zoznamu nezahrnuli.

skor povie, že ich nemôže očíslovat (vlastne jeho nezaujíma kolko ich je tých riadkov). Ale to uz som tu rozoberal s tysom. jemu aj vadilo, že ich je 10^alef0, pri binarnom zápise 2^alef0.

A následne nájdeš, že 2^alef0 je už viac ako alef0, aj ked ja teda neviem prečo.

pričom cantor ich nepočíta, cantor ukazuje, že tam je číslo ktoré mu chýba v zozname:) Ale ako mu nemôže chýbat číslo ked ich je 2^alef0? :)

Mne vadi zas ten dôkaz. To je ako povedat, že ak je riadkov rovnako vela teda alef0 a počet desatinných miest je alef0, tak je jasne, že nemá celý zoznam, lebo tých čísiel je 2^alef0. Teda ja sa nečudujem, že dojde k sporu.

Ale tak by došiel k sporu aj pre racionálne čísla, lebo to tiež nie je štvorcová matica, teda mu budu chybat aj racionálne čísla z intervalu, pričom ta ista logika dokazu štvorcovej matice mu najde spor, tiez tam nebudu všetky racionálne v takejto štvorcovej matici. Pričom racionálne maju mohutnost alef0.

pokial rozumiem a pokial je Wiki relevantna :) tak

Cantor's original proof considers an infinite sequence S of the form (s₁, s₂, s₃, ...) where each element s_i is an infinite sequence of 1s or 0s. This sequence is countable, as to every natural number n we associate one and only one element of the sequence. We might write such a sequence as a numbered list:

s₁ = (0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, ...)

s₂ = (1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, ...)

s₃ = (0, 1, 0, 1, 0, 1, 0, ...)

s₄ = (1, 0, 1, 0, 1, 0, 1, ...)

s₅ = (1, 1, 0, 1, 0, 1, 1, ...)

s₆ = (0, 0, 1, 1, 0, 1, 1, ...)

s₇ = (1, 0, 0, 0, 1, 0, 0, ...)

Tento zoznam je spocitatelny, kedze ku kazdemu prirodzenemu cislu n priradime jeden a prave jeden clen zoznamu.

Cantor ich pocita. A chyba mu preto, lebo predtym ich zle spocital :)

No ved nepočíta ich v tom zmysle, že by robil kombinácie možnosti ako si ich aj ty vycislil na 2^alef0. Ja len tolko, že mu budu chybat aj racionálne v tej štvorcovej matici.

cantor robi dokaz sporom, predpoklada ze existuje zoznam realnych cisel co sa da ocislovat a nasledne ukaze ze to vedie k sporu.

Racionalne cisla sa daju ocislovat a cantor poskytol aj sposob ako to spravit. ( tam vznika :matica:, a cislujes po diagonale, takto sa da kazdemu racionalnemu cislu ( podiel dvoch prirodzenych) priradit poradie ).

Robopol odmieta pracovat s nekonecnym zoznamom, pripadne s nim pracuje "intuitivne" ;), co v tomto pripade vedie k paradoxom. S nekonecnom sa vsak neda pracovat inak ako na zaklade definicii a logiky, chyba nam vlastna skusenost co by umoznila predpokladat co by mohlo vyjst. Mozeme napriklad povedat ze nad nekonecnymi mnozinami sa neda spravit bijekcia a potom sa nedaju ani porovnavat ich mohutnosti. Mozem nesuhlasit ale aj to je pristup.

robopol

myslim ze tvrdime to iste

Ved tyso, ak by si tvoril konecný zoznam na lubovolný počet desatinných miest ale konecný, tak ti do stvorcovej matice nevlezu vsetky kombinácie, rozumieme sa? tak ako zrazu v nekonecne sa stane pravý opak? ved sme sa zhodli v tom, že na nekonečnom desatinnom mieste MOZE ale NEMUSI vzniknut iracionálne číslo. Keby mal cantor pravdu, tak by NEMOHLO vzniknut racionálne číslo, ktoré by v zozname nebolo prostredníctvom cantorovej diagonaly.

No ved to je podstatne ako robi bijekciu medzi nekonečnými množinami. Teda ja to beriem takto:

ak dokaže priradit všetkým prirodzeným číslam párne, alebo nepárne, tak je jasné, že pre akukolvek konecnu mnozinu to neurobí v tom zmysle, že pre párne bude rovnaké koncové číslo ako pre prirodzene, ved ich je dva krát viac. Takže to robí na úkor nekonečna, ktoré je natahovacie nekonecno + nekonecno je stale nekonecno, ale potom ak prímem toto, potom uz nebudem tvrdit, že je nejaké nespočítatelné nekonecno nejake vacsie.

tyso

presne preto, ze nam chyba vlastna skusenost, nemam dovod povazovat Cantorov sposob ocislovania racionalnych cisel za korektny.

To ze na jednom mieste tvrdi, ze aleph_1 (pocet binarnych kombinacii) = aleph_0 (kombinacie ocisluje prirodzenymi cislami) a na druhom mieste tvrdi, ze aleph_1 # aleph_0 (vysledok jeho diagonalneho dokazu), iba znizuje u mna jeho kredit.

Matematika moze pracovat pomocou definicii. Nestastie zacina tam, ked k tomu nuti aj prirodovedu. Hlavne svojou definiciou, ze singularne riesenia nemaju fyzikalny zmysel.

Ved to je zaujímave pepper, že máme tu hrst bielych a ciernych guliciek, vieme, že bielych + čierných su všetké, tak vieme, že z celkového počtu je ich vzdy polovica. Teraz sa zacneme tvarit, že pre všetky aj cierne aj biele najdeme rovnaku hrst len bielych, alebo ciernych, ale to dokažeme iba vtedy ked zväčšíme POTENCIALNE množstvo tých bielych, alebo čiernych, ale tým sme okamzite zvýšili aj množstvo všetkých. Potom sa čudujeme, že mame matematiku plnu neintuitivnych veci a výmyslov.

Proste ja akceptujem taketo bijekcie IBA ako potenciálne, teda v zmysle potenciálneho nekonečna.

robopol

chapem ta tak, ze ideme po diagonale, "zrazu" nam zacnu dochadzat desatinne miesta (a este sme vsetko neocislovali), tak kedze ich pocet je potencialne nekonecny, tak si mozeme dalsie (lubovolne) pridat. Ale tato predstava vychadza tiez iba z tvojej skusenosti s konecnom. Moja intuicia je proti.

Uprednostnujem fyzikalne skumanie nekonecna, samozrejme myslienkovymi pokusmi. Napr. mame nekonecne dlhu priamku a sme od nej vzdialeni 1m. Teraz sa budeme pohybovat v smere priamky (rovnobezne s nou) nekonecne dlho. Ked zastaneme, aka bude nasa vzdialenost od nej? Podla mna moze byt lubovolna konecna nenulova.

Myslim si, ze nato, aby sme mohli uvazovat o nekonecne, mali by sme preskumat definiciu konecneho cisla, hodnoty.

STR ukazala, ze hodnota veliciny moze byt zavisla od pozorovatela. Aj preto je velmi kontraintuitivna. Ale asi nie dostatocne.

potenciálne nekonečno sa chápe ako množstvo, ktoré môže byt stále väčšie. Nie je to teda nejaký koncový stav daný v tzv. aktuálnym nekonečnom.

pri priradzovaní bijekcii vlastne ci chces alebo nechceš pracuješ v rovine iba toho potenciálneho nekonecna. vieš napr. že najdeš nejaké číslo z mnoziny x ked ho umocníš. takže vieš priradit číslo a jeho druhu mocninu. V tvojej hlave pracuješ vlastne len a len výlučne s potenciálnym nekonečnom.

a pokial je stále vzdialenost od priamky rovnaká, tak nemá dôvod sa menit, v potenciálnom nekonecne bude vzdy rovnaká vzdialenost. Aktuálne nekonečno nemôže dat iný výsledok.

Najväčší skok v nekonecne nastal ked sa zacalo rozprávat o aktuálnom nekonecne. Uz to nie je nekonecno ako neuplny stav, ktorý je stále mozné zväčšit ale je to výsledný stav toho, čo výsledný stav v potenciálnom stave nemalo a nemohlo mat.

pri potenciálnom nekonecne si nikdy nepredelil úsečku nekonečným delením tak, aby ti nakoniec ostalo v rukách nic. Aj ked sa to matematikom nepáci, tak aktuálne nekonecno ich doviedlo k nule. nechcu si to priznat, ale je to tak, budu tvrdit ze limita sem limita tam, ale ich konečný stav je akutuálne nekonecno a ziadne nekonečne blízko, proste 100% presne v tom mieste.

a napr.

je číslo 4,99999............. mensie číslo ako 5,0?

O toto tu ide:) A čo je medzi tými číslami?

preto matematika s ziadnym aktualnym a potencialnym nekonecnom nepracuje. Aspon nie v teorii mnozin. Ty v skutocnosti stale konstrujes nejaky algoritmus ktory nikdy neskonci.

A len tak bokom 4,999.. je iny zapis cisla 5. Medzi nimi nie je nic.

V teorii množín je mohutnost, teda početnosť, pričom pre úplnu množinu prirodzených čísiel je to alef 0. Čo znamená úplná množina prirodzených čísiel? pretože to sa náramne podobá na akutálne nekonečno, pričom sa tomu zámerne vyhýbaš. Nezmeníš pojem tým, že mu priradíš iné slovo, ci ano? :)

Teda alebo v teorii množín je akutuálne nekonečno, alebo iba potenciálne nekonečno? Na to odpovies tak, že to nie je tak definované. Tak definuj poriadne mohutnosť množiny a význam alef0.

robopol, tuto debatu som vzdal :), bud si ochotny prijat sposob ako je vystavana matematika alebo nie, Ak nie, tak sme v oblasti filozofie a tam sa mi nechce debatovat o nekonecne. Ani o tom kolko anjelov sa zmesti na bod. ( To je jedna z debat o nekonecne velkom a malom )

V jednej z teorii mnozin je ako axiom predpoklad ze existuje mnozina prirodzenych cisel s istymi vlastnostami. Debata o tom ake je to nekonecno a ci vobec existuje aktualne alebo potencialne je tak mimo. Mohutnopst mnoziny je dedfinovana tak ze ju oznacis alef0. :) A povies ze ak existuje priradenie tak maju rovnake mohutnosti. To je zase definicia, sice je mohutnost definova tak aby pri konecnych mnozinach dala ocakavane vysledky ale matematika neskuma ci sa to da rozsirit na nekonecno, jednoducho to definuje.

A ty mozes povedat ze tato teoria mnozin sa ti nepaci a mozes si postavit vlastne axiomy. Nebudes prvy ani posledny.

Vzdal si to len preto lebo sa chces držat nejasných definícii. Tým, že povieš úplná, musíš vediet interpretovat čo to je. ak povieš alef0 je to symbol, ktorý niečo označuje, ozančuje mohutnosť, teda početnosť. A to alef0 je nekonečno. Ja som iba rozšíril, kedže sa jedná o úplnu množinu, že to je aktuálne nekonečno. S takým sa v matematike stretnes.

No a teraz preskúmajme pojem bijekcia. Bijekcia je priradenie. Pričom pri konečnej mnozine A priradzuje práve jeden prvok z množiny B a naopak. Ak to rozšírime na nekonečné množiny, tak čo považuješ za dôkaz bijekcie? Robíš totiž dokazy bijekcie vzdy na konečných množinách. A príklad

priradzuješ z množiny A prirodzených čísiel do množiny B, ktorá je daná takto:

1-1

2-4

3-9

4-16

5-25

podla tvojej definície priradíš každému číslu z množiny A číslo z množiny B, je iba jedno a platí aj priradenie z množiny B do A. Avšak máme tu jeden problém. V každej konečnej množine nepriradíš číslo z množiny B, tak aby množina A získala priradenie.

1-1

2-4

3-9

4-16

v množine B sa nenachádza 3,5,6,7,8,10,11,12,13,14,15. Takže neurobíš teraz priradenie týchto čísiel z množiny B do množiny A, pokial by sme trvali na tom, že množina B ma aj tieto čísla.

nie, interpretacia nie je ulohou matematiky. Moze to byt zaujimave, moze to mat suvis s realnym svetom ale nie je podmienka. Mohutnost ci kardinalne cislo je pojem, kde si mozes sam robit intrepretacie.

A dalej nechapem, bijekcia je jednojednoznacne priradenie, okrem toho mas injekciu, co je priradenie , ty bud ukazujes injekciu a v trajom pripade plati ze ak vies spravit injekciu, tak mohutnost je mensia alebo rovnaka. Ak nevies spravit injekciu, tak mas vyssiu mohutnost. Pre konecne mnoziny tak mohutnost robi presne to co velkost.

Ale ulohou matematiky nie je mat svet postavený na nejasných axiómach a definíciach. to úlohou matematiky nie je.

Ak niekto povie, že konečná množina párných čísiel ma menšiu mohutnost ako prirodzených, vyplýva to z toho , že množina párnych čísiel je podmnožina množiny prirodzených. množina prirodzených je vždy väčšia pre akúkoľvek konečnú množinu. Vždy obsahuje dva krát viac prvkov ako párna. No pri bijekcii takýchto nekonečných množín to neplatí. Dôkaz je urobený pre bijekcie nekonečných množín, pričom je to dosiahnuté tak, že množina pránych čísiel má dva krát väčšie číslo v množine ako množina prirodzených, inak by sa bijekcia nedala urobiť. Lenže dôkaz by to bol iba vtedy, keby sme dali dodatocnú podmienku a to takú, že množina musí mať priradenie každého prvku po najväčšie číslo v oboch množinách a to už neurobís.

v takom pripade si vsak zaviedol novy pojem a musis definovat co tvoja mohutnost je. To co pises dalej je vsak jasne obmedzenie na konecne mnoziny. Bud sa teda vzdas ambicie cokolvek povedat o nekonecnych mnozinach alebo musis pojmy definovat jasne

Jasne je iba to čo je bijekcia. A nejasné je ten zvyšok pre neokonečné množiny, pretože ako som ti ukázal vyssie, tak bijekcia nekonečných množín aku prevádzajú je v tom, že neexistuje väčšie, menšie nekonečno. A to ja akceptujem. Ak položím nekonečno +nekonečno=nekonečno, potom takáto bijekcia, ktorá vychádza z takejto vlastnosti nekonečna da mohutnost párnych rovnakú ako mohutnost prirodzených. No na nestastie sa objavila väčšia mohutnost, a to je ten nelogický záver, pretože ako som už povedal, ak je raz nekonečno tvárne, nemôže dat 2 na nekonečno nič iné len a len nekonecno, ziadne väčšie nekonečno neexistuje. A na tom trvam, pretože tak ako su vystavené axiomy matematiky to inak ani nemôže byt.

no, pre nekonecne mnoziny cantor ukazal ze to tak nie je :) Ale kedze odmietas aj dokaz sporom, tak to je potom tazke.

Bud prijmes axiomy a nasledne prijmes aj dosledky logiky alebo si mimo matematiky.

Axióm som prijal a nasiel som ti argumenty, ktoré poukazujú na to prečo cantorov dokaz prichádza k sporu. Ja som ti ho vysvetlil, prečo sa to deje. TY však vieš len dokolečka rozpravat o tom ako to cantor dokazal, na to čo ti píšem nereaguješ, na to prečo je cantorov dokaz zly. Tak ja som mozno mimo matematiky, pretože matematika prijala pofiderny cantorov dokaz, ale mimo logiky nie som, pričom ziadne axiomy som nezmenil. Našiel som rozpor v tých axiomach, ktoré ty ani nevies odprezentovat a vysvetlit, aby sme sa niekam posunuli.

robopol, lenze nedal si ziadne matematicke argimenty, odkaz na to ze podla teba to nie je spravne som cital, skusal som ti vysvetlit kde sa mylis ale nemalo to ziadny efekt. Tak nemam co dalej dodat :), mylis sa ale kedze odmietas aplikovat logiku, tak nemam sposob ako to ukazat.

1. Predpoklad : mame zoznam vsetkych realnych cisel, ktory je ocislovany prirodzenymi cislami. Kazdemu prirodzenemui cislu tak zodpoveda jedno realne cislo a naopak. Realne cisla su zapisane pomocou nekonecneho desatinneho rozvoja.

2. Ak vyvorime cislo cantorovym sposobom, tak je to cislo ktore v zozname nie je/

3. To je spor a teda neexistuje zoznam z predpokladu c.1

Uvahy o tom ako sa spravaju konecne zoznamy a ze pokial sa obmedzime na cisla s konecnym rozvojom atd, to su uvahy ktore nemaju priamy vztah k dokazu. A tiez uvahy ze vlastne realne cisla neexistuju lebo su potencialne ale ze nikdy sa nedaju zapisat su mimo axiomov a hovoria o tvojich predstavach, nic vsak nevyvracaju. Atd. A ked ti poviem, tak oznamis ze definicie nie su vsetko. Ok, matematika nie je vsetko. O nekonecne sa daju aj skladat basne.

napísat mylis sa, lebo odmietas logiku. To su len tvoje konstatovania, ktore sice stale opakuješ, ale nic nedokazujú. Naopak ja som ti dal dôkaz o tom, že vznikne v množine racionalnych čísiel spor cez cantorovu diagonalu. Ukazal som ti taky zoznam:

0,1

0,11

0,111

....

v takomto nekonecnom zozname chyba nekonečne veľa čísiel napr. 0, 1011111

To si ticho ako panpuch, len tu konstatujes, ale konstatovania nie su dokazy.

a co ma tvoj zoznam spolocne s problemom ? Tvrdis ze obsahuje vsetky racionalne cisla ? Ci ako ? A aj keby tak to nema ziadnu relevenciu

Pouzil som uplne zakladnu logiku, kde som ti ukazal ze ak bude predpoklad ze mas zoznam vsetkych racionalnychj cisel tak spor nenastane a ty opakujes nejaky nezmysel ze mas zoznam ktory neobsahuje vsetky racionalne cisla a ze to teda je dokaz cohosi. A kedze to je uplna blbost, tak to nechavam bokom. nechce sa mi debatovat sposob ze ty povies cokolvek a od veci a povazujes okamzite za dokaz. Bez suvisu, bez logiky.

Miesto toho aby sa zamyslel nad tym co vlastne hovori cantorov dokaz. A ked sa snazim tu napisat dokaz v predikatovek logike, tak povies ze to nic nedokazuje.