Pomôžte mi počítať

stredné školy, aritmetická postupnosť:

1. V trojuholníku uhly tvoria aritmetickú postupnosť. Určite ostatné uhly, ak najmenší uhol má veľkosť 20°.

2. Ako dlho by padal kameň do bane v Južnej Amerike hlbokej 2500 m, ak vieme, že v prvej sekunde preletí 4,904 m a za každú ďalšiu o 9,808 m viac?

Riešenie, príklad 1:

Pre trojuholník, ktorý má prvý uhol 20°, vytvoríme aritmetickú postupnosť pridaním „d“ ku každému nasledujúcemu uhlu:

20 + (20 + d) + (20 + d + d) = 180    Z rovnice nám vyjde d = 40.

Uhly trojuholníka sú teda 20 + 60 + 100 = 180

Riešenie, príklad 2:

Príklad by bolo možné riešiť podľa fyzikálneho vzorca S = a . t² /2, ale môžeme ho vyrátať aj matematickým logickým postupom:

Preveríme najprv, akou rýchlosťou sa pohyboval kameň na konci prvej sekundy.

Vieme, že na začiatku mal rýchlosť nula, po sekunde mal rýchlosť v₁ a jeho priemerná rýchlosť bola v_p = (0 + v₁)/2

Priemerná rýchlosť v_p = dráha / čas =  s₁/ t₁ = 4,904 metrov/1 sekundu = 4,904 m/s

Okamžitá rýchlosť v₁ v čase jednej sekundy = 2 . v_p = 9,808 m/s

Pre rýchlosť v závislosti na čase platí v = a . t , zrýchlenie a = v/t = 9,808 / 1 sekunda = 9,808 m/s²

Rýchlosť pri dopade označíme v_d = a . t  a máme prvú rovnicu v_d = 9,808 . t

Druhá rovnica znie: Dráha 2500 metrov sa rovná priemerná rýchlosť počas celého pádu x čas t ,  S = (v_d/2) . t 

Máme dve rovnice :

v_d = 9,808 . t

2500 = (v_d/2) . t

Po vzájomnom dosadení rovníc vyjde čas dopadu 22,57 sekúnd a poznáme aj rýchlosť pri dopade v_d = 221,36 m/s = 796,9 km/hodinu

V skutočnosti by pád trval dlhšie a rýchlosť by bola nižšia, lebo nepočítame so silným brzdiacim účinkom vzduchu .

Pridám nasledovný príklad; možno ešte takýto sme nemali: 

Obyvateľ  domčeka ide s vedrom k potoku nabrať vodu a ide potom poliať hriadku zeleniny podľa obrázku.
Kolmá vzdialenosť domčeka k rieke je 200 m a kolmá vzdialenosť hriadky  je 50 m od potoka.

Vzdialenosť medzi kolmicami je 250 metrov. Treba nájsť čo najkratšiu trasu c₁ + c₂ z domčeka ku rieke a odtiaľ k zelenine.

A čo sklenené/drevené dvere? Asi to už nikto rátať nechce, alebo sa na ne len zabudlo?

Mne to vyšlo najvýhodnejšie podľa obrázku. Hodnoty premenných môžem doplniť neskôr, ak to nik nebude rátať.

Nemyslím, že by sa bolo úplne zabudlo, ale ako vidíš, nikto sa do riešenia restov už nehrnie.

A tak to môžeš doplniť, nech máme úlohu "ZA vyriešenú". :smile2:

Podobnú úlohu som riešil istej známej, keď som ju pripravoval na prijímačky na VŠ z matematiky kedysi pred 30 rokmi. Krásne na nej je, že som našiel hneď tri spôsoby riešenia a keď prišiel na izbu spolužiak a pýtali sme sa ako by to riešil on, ponúkol štvrtý spôsob.

Najjednoduchšie sa to zráta, ak si predstavíme, že záhradka by bola na druhej strane potoka v rovnakej kolmej vzdialenosti. Potom najkratšia je samozrejme priama cesta, čo je prepona rovnoramenného pravouhlého trojuholníka s odvesnami 250m, resp. 200+50m. Vzdialenosť je teda 250*odmocnina z 2.

Pred časom ste na fóre kritizovali derivácie, že na čo to vôbec v praxi je. Toto je jeden z mnohých prípadov, kde sa to dá riešiť aj deriváciami a nie je to veľmi zložité. Ak si vzdialenosť od kolmého priemetu domčeka po miesto naberania označíme x, potom platí

c₁²=x²+200² a c₂²=(250-x)²+50² Minimum dostaneme, ak derivácia c1+c2 podľa x bude rovná nule...

Posted 10. January 2014 - 18:32:50     #1894:

A čo sklenené/drevené dvere? Asi to už nikto rátať nechce, alebo sa na ne len zabudlo?

Mne to vyšlo najvýhodnejšie podľa obrázku. Hodnoty premenných môžem doplniť neskôr, ak to nik nebude rátať.

 

Odmocninu budem označovať ako V

V pôvodnom zadaní bola plocha dverí 3m². Strana takého štvorca a = V3. Rozmer b je polovica uhlopriečky, teda b²+b²=(V3)² , potom b=V3/V2=1/2*V6. w je polovica z b. Pravouhlá drevená platňa by mala (b+a+w)*w = (1/2*V6 + V3 + 1/4*V6)*1/4*V6=2,19m², čo je odpad asi 0,19m², resp. menej ako 10%.

x = 1/3*a = 1/3*V3 , e=1/3*b = 1/6*V6  Pravouhlá sklenená platňa by mala b*(e+x) = 1/2*V6*(1/6*V6 + 1/3*V3) =  1,21m² , čo je odpad asi 20%.

Neručím, či usporiadanie jednotlivých dielcov do pravouholníka je najlepšie možné, ale je najlepšie, aké som našiel ja.

Pred časom ste na fóre kritizovali derivácie, že na čo to vôbec v praxi je. Toto je jeden z mnohých prípadov, kde sa to dá riešiť aj deriváciami a nie je to veľmi zložité. Ak si vzdialenosť od kolmého priemetu domčeka po miesto naberania označíme x, potom platí

c₁²=x²+200² a c₂²=(250-x)²+50² Minimum dostaneme, ak derivácia c1+c2 podľa x bude rovná nule...

Zobracka, máš pravdu, že sa to dá vypočítať aj pomocou derivácie. Už som chcel po prvý krát s veľkou hrdosťou  :) využiť svoje čerstvo získané znalosti o derivácii v praxi, ale dostal som studenú sprchu. Tvoj vzorec som sa pokúsil zderivovať, čo sa mi nakoniec s biedou aj podarilo :

c₁²=x²+200² a c₂²=(250-x)²+50²

Čiže vzdialenosť: y = (Odmocnina x²+200²) + (Odmocnina (250-x)²+50²)

Derivácia dy/dx = [ x/Odm (x² + 200²)] + [(x-250)/Odm (250² + 50² – 500 x + x²)]

Keď som sa pokúsil ale vypočítať z tejto rovnice x = , tak mi vyšli také komplikované výrazy, že som to vzdal. Ešte uvážim, či posledné roky života budem tráviť výpočtom nejakého príkladu pomocou derivácie, ktorý je možné vyrátať aj schodnejšou cestou (ak ju ale človek objaví). -_-  

Akurát som skontroloval, či je výraz pre deriváciu správny: Keď som dosadil do rovnice derivácie x = 200 metrov, tak naozaj sa rovnica rovnala nule, ako to má byť. Ak budeš mať viacej trpezlivosti ako ja, by ma celkom zaujímalo, aký nakoniec vyjde vzorec po úprave pre hodnotu x = . . .  z danej rovnice derivácie pre podmienku, že derivácia sa rovná nule. Možno nás to bude viacerých zaujímať, ako treba ísť na algebraické úpravy tohto druhu. 

Pokúšal som sa pomocou derivácie riešiť nasledovný príklad, kde som dospel k akémusi výrazu, ale nevedel som tiež vypočítať z rovnice x, a ešte navyše, tu som si nebol istý ani správnosťou  výpočtu derivácie. Takže, aký má byť správny výsledok tohto príkladu, vôbec neviem. Asi tiež bude schodnejšie riešiť úlohu nejakou logickou úvahou, ale ešte som sa tomu nevenoval.

Tu je ten príklad: 

Jedno auto je od stredu križovatky vzdialené 200 m a má rýchlosť 100 km/h.

Druhé auto zo smeru otočeného o 90° je od križovatky vzdialené 250 m a má rýchlosť 150 km/h.

Obe autá idú do križovatky nezmenenou rýchlosťou (nemali by sa zraziť) a treba určiť ich najbližšiu vzájomnú vzdialenosť počas prechodu križovatkou .

Prípadne aj ich momentálnu polohu od stredu križovatky v tom momente.

Bohus,

ešte sa vám do toho zamotám : kľudne použite derivácie, keď je to taký príklad a jednoducho to viete vyriešiť tak ...

to protestovanie proti deriváciám a podobným radostiam bol krik od neinvenčných matematikov, ktorí proste počítajú svoje záklaďácke príkladíky, a robí im to radosť ... :)

kľudne môžeme s každým druhom počítania koexistovať a fungovať v jednej téme vedľa seba ... celkom to funguje :klobuk:

ok, a môžeme riešiť ďalšie príklady od Bohusa,  dámy a páni :)

Game, až teraz mi zaplo, že som sa zle vyjadril.  :) Dostal som studenú sprchu nie od členov tohto fóra; to by ma ani nenapadlo sťažovať sa, ale od tohto konkrétneho príkladu o najkratšej cestičke. Že som si namýšľal, ako už ovládam derivácie a keď prišlo na to použiť ich v tomto konkrétnom príklade, tak som s výpočtom už nedokázal hnúť.

Práveže  sa chcem v prvom rade v budúcnosti spoliehať na aký taký úsudok pri riešení príkladov, a nie na používanie derivácií. 

 

c₁²=x²+200² a c₂²=(250-x)²+50²

Čiže vzdialenosť: y = (Odmocnina x²+200²) + (Odmocnina (250-x)²+50²)

 

Derivácia dy/dx = [ x/Odm (x² + 200²)] + [(x-250)/Odm (250² + 50² – 500 x + x²)]

 

Derivácia je v poriadku, len ten posledný výraz je lepšie neumocniť, ale nechať v pôvodnej zátvorke. Potom bude

x/Odm (x² + 200²) = (250-x)/Odm ((250-x)² + 50²) Platí to aj pre prevrátené hodnoty:

Odm (x² + 200²)/x = Odm ((250-x)² + 50²)/(250-x), aj po umocnení

(x² + 200²)/x² = ((250-x)² + 50²)/(250-x)² rozdelení zlomkov

1+ 200²/x² = 1 + 50²/(250-x)², odčítaní jednotky a potom odmocnení

200/x=50/(250-x), teda 200*(250-x)=50x, teda 200*250=250x a x=200

Uznávam, že "logickou" cestou je riešenie pochopiteľnejšie aj rýchlejšie.

Neviem (zatiaľ) nájsť logický postup pre ďalší príklad s križovatkou. Takže ak niekoho napadne, môžte to porovnať s výsledkom, ktorý mi vyšiel cez derivácie:

Postup:

x=x₀-v₁t (vodorovné auto x₀=250m, v₁=150 km/h=125/3 m/s)  

y=y₀-v₂t (zvislé auto y₀=200m, v₂=100 km/h=250/9 m/s) 

vzájomná vzdialenosť v čase t je L=odm(x²+y²) = odm( (x₀-v₁t)² + (y₀-v₂t)² )=odm(A)

dL/dt= 1/2 * 1/odm(A)  * ( 2*(x₀-v₁t)*(-v₁) + 2(y₀-v₂t)(-v₂) )

Ak sa derivácia rovná nule, potom čitateľ sa rovná nule

2*(x₀-v₁t)*(-v₁) + 2(y₀-v₂t)(-v₂) = 0

x₀v₁+ y₀v_{2 =} (v₁²+ v₂²)t po dosadení

t=(250*125/3+ 200*250/9)/((125/3)²+(250/9)²)=po zaokruhleni 6,37s

x=265,38m a y=176,92m (všetko zaokrúhlené)

L²=15,38²+3,08²  odtiaľ vzdialenosť áut L=15,68m

Skúsme ešte nájsť cestu výpočtu bez derivácii.

L²=15,38²+3,08²  odtiaľ vzdialenosť áut L=15,68m

 

Skúsme ešte nájsť cestu výpočtu bez derivácii.

Oops - opäť chybička - mýlim sa nejak často...

L²=15,38²+23,08² teda L=27,74 

Neviem, prečo ma lákalo 180, keď v zadaní je 200.  (200-176,92=23,08)

no, neviem.   Mne este napadlo, ze ked je najmensia vzdialenost, tak bude najmensi aj stvorec vzdialenosti ale k rieseniu to neviedlo.  Cez derivacie je to lahke, bez nich snad by to slo , ze urobime rovnicu vzdialenosti  ako funkciu t a budeme hladat taku formu ze ked odcitame nejake C, tak budeme mat dojnasobny koren.

ale to je urcite menej nazorne a zlozitejsie ako cez derivacie.

Zobracka, súhlasím s tvojím druhým výsledkom; napodiv aj mne sa podarilo tentoraz dotiahnuť deriváciu do konca. Teraz mi vyšiel nakoniec vzorec:
dy/dt = (v₁² t + v₂² t - av₁ - bv₂) / Odm ((a - v₁ t)² + (b - v₂ t)²)), kde celý výraz pod odmocninou vypadol a ostalo v₁² t + v₂² t = + av₁ + bv₂ , ako uvádzaš aj ty. 
Najkratšia vzdialenosť vyšla 27,735 m.

Skúšal som to aj logickou úvahou, ale tam mi vyšla hodnota 28,288 m, čo je veľký rozdiel.  Nejdem postup ani uvádzať, kým nenájdem príčinu rozdielu.

Jedno auto je od stredu križovatky vzdialené 200 m a má rýchlosť 100 km/h.

Druhé auto zo smeru otočeného o 90° je od križovatky vzdialené 250 m a má rýchlosť 150 km/h.

 

Obe autá idú do križovatky nezmenenou rýchlosťou (nemali by sa zraziť) a treba určiť ich najbližšiu vzájomnú vzdialenosť počas prechodu križovatkou .

Prípadne aj ich momentálnu polohu od stredu križovatky v tom momente.

 

 

 

Križovatka.png

moja logicka uvaha:

- auta sa nezrazia, ak idu nezmenenou rychlostou, pretoze jedno z nich pride do krizovatky skor

- potrebujeme urcit, ktore pride do krizovatky skor

(vypocet su jednoduche trojclenky, nejdem ich rozpisovat)

Č auto potrebuje na prichod do krizovatky 7,2 s  M auto za ten isty cas prejde vzdialenost 300 m, z toho vyplyva, ze bude v krizovatke skor (bude uz v tom case za krizovatkou a to o celych 50 m)

- potrebujeme teda zistit za aky cas bude v krizovatke M auto a kolko bude v tom case vzdialene Č auto, pretoze to bude ich najmensia vzdialenost

M auto potrebuje na prichod do krizovatky 6 s, za ten isty cas prejde Č auto 166,666.. m a teda ich vzajomna vzdialenost bude 33,333.. m

(keby sme chceli zistit najmensiu vzdialenost v urcitom case, resp. bode pred krizovatkou, tak by to bola prepona pravouhleho trojuholnika, kde by sme mali odvesny m a č; lenze najmensia vzdialenost je vtedy, ak jedna z tychto odvesien=0)

Nie je pravda, že najmenšia "prepona" je pri "odvesne" =0. Uvažujme napr., že budú obe autá rovnako ďaleko od križovatky. Musia sa rovnať absolútne hodnoty abs(250-125/3*t) = abs(200-250/9*t). Úloha má dve riešenia, Bližšie ku križovatke budú v čase 6,48s - obe autá 20m od križovatky - jedno pred a druhé za. Vtedy vyjde prepona 28,28m, čo je ešte bližšie k minimu, ale tiež je to len taký "pokus".

Riešenie sa dá dosiahnuť aj numericky - či už programátorsky, alebo napr. v Exceli za pár desiatok sekúnd. Analytické riešenie zatiaľ stále nemám.

mas pravdu, na "zapornu" hodnotu odvesny som zabudol :(

K čomusi som už dospel: 

Na priloženom obrázku je znázornené, kde sa nachádzajú autá v danom časovom okamihu. Z výpočtov vyplýva, že výsledok dosiahnutý deriváciou je naozaj správny; vzdialenosť medzi autami je v danom okamihu naozaj najkratšia. Ja som tak trochu tipoval, že ten tretí prípad, keď sú autá rovnako vzdialené od stredu križovatky, by mohol byť riešením pomocou úvahy, ale nie je to tak.

Ale teraz, keď vieme, ako vyzerá postavenie áut, tak už dokážeme ľahšie zistiť, akým spôsobom by sa toto postavenie dalo vypočítať bez derivácií, len logickou úvahou. Máme teda úlohu už trochu jednoduchšiu: Akým postupom sa to dá vypočítať ?

dal som si to do grafu, lebo derivovať neviem, a len tak rukou nakreslený graf povedal, že funkcia prejdených dráh a času má minimum asi pri siedmej sekunde

Nie je pravda, že najmenšia "prepona" je pri "odvesne" =0. Uvažujme napr., že budú obe autá rovnako ďaleko od križovatky. Musia sa rovnať absolútne hodnoty abs(250-125/3*t) = abs(200-250/9*t).

Ale teraz, keď vieme, ako vyzerá postavenie áut, tak už dokážeme ľahšie zistiť, akým spôsobom by sa toto postavenie dalo vypočítať bez derivácií, len logickou úvahou. Máme teda úlohu už trochu jednoduchšiu: Akým postupom sa to dá vypočítať ?

vyplyva z nejakeho matematickeho zakona, ze ak su odvesny rovnake, tak prepona je vzdy mensia ako sucet nerovnakych ?

t.j. INV²(a² + a²) < INV²(a² + b²) ?

v tom pripade na riesenie staci vypocitat cas t v ktorom nastane rovnaka vzdialenost od krizovatky (vid  riesenie zobracka...)

D´Ady, ukazuje sa, že vzdialenosť medzi autami nie je najmenšia v okamihu, kedy sú autá v rovnakej vzdialenosti od stredu križovatky. To by platilo iba v prípade, keby obidva autá išli rovnakou rýchlosťou. Ale všimol som si tam akýsi iný druh symetrie: autá sú najbližšie k sebe vtedy, keď sa rovnajú súčiny vzdialenosti od stredu križovatky s príslušnou rýchlosťou: v₁ . n = v₂ . m

Výpočet bežným počtárskym postupom bez derivácie by mohol byť potom takýto:

Keď je jedno auto v strede križovatky, vyrátame vzdialenosť “s“ druhého auta od stredu križovatky:

s = y₀ – (x₀ . v₂/v₁)  = 0,200 – (0,250 . 100/150) = 0,033333 km

Z obrázku vyplýva: n = v₁ . t = 150 . t       a tiež:  m = s – (v₂ . t ) = 0,033333 – 100 . t

Dosadíme do rovnice : v₁ . n = v₂ . m

150 . 150 t = 100 . ( 0,033333 – 100 . t)

t = 1,025 641 . 10^-4 hodín 

n = v₁ . t = 150 . 1,025 641 . 10^-4 = 0,015 384 km

m = s – (v₂ . t ) = 0,033333 - ( 100 . 1,025 641 . 10^-4) = 0,023 077 km

L = Odm ( n² + m²) = 0,027 735 km = 27, 735 m

nemusí platiť, že ak je jedno auto v strede, tak sú najbližšie k sebe. Závisí to od ich rýchlostí...

edit, otočka....

Najmenšia vzdialenosť musí byť stav, keď neexistuje trojuholník, a vzdialenosťou je len priamka. 

Sú len dve možnosti:

1)auto vodorovné je v križovatke

2)auto zvislé je v križovatke

 takže stačí vypočítať kedy ktoré auto bude v križovatke, podla toho vypočítať polohu druhého auta a vypočítať vzdialenosť.

Bohus, tomu, co si napsial absolutne nerozumiem

alarm, z tohto omylu ma uz vyviedol zobracka

Pokúsim sa podrobnejšie vysvetliť postup výpočtu pomocou predošlého obrázku. Najprv vypočítame, kde sa nachádza druhé auto, keď je prvé v strede križovatky. V našom prípade nám vyjde 33,33 metrov. Túto hodnotu použijeme ako hodnotu „s“ v ďalších výpočtoch.

Teraz si predstavíme, že spodné auto prejde od stredu križovatky vodorovne vzdialenosť označenú „n“, ktorá sa rovná v₁ . t.  
Za tú istú dobu, zatiaľ neznámu, prejde horné auto zvislo nadol vzdialenosť  v₂ . t , a ešte mu ostáva potom do stredu križovatky vzdialenosť „m“. Rozmer trojuholníka označený „m“ sa bude rovnať  hodnote  s - (v₂ . t)

Veľká pomôcka pre ďalší výpočet je to, že vieme, že pomer rýchlostí v₁/v₂ sa rovná pomeru m/n  (alebo v₁ . n = v₂ . m). Vieme tým pádom, že v okamihu, keď poloha áut vytvára trojuholník s takýmto pomerom strán ( v₁/v₂= m/n ), tak autá sú v tom okamihu k sebe najbližšie. Táto najmenšia vzdialenosť je súčasne prepona trojuholníka označená L .

Keby rýchlosti áut boli napríklad rovnaké, vtedy vy pomer v₁/v₂ bol rovný „1“ a vtedy by trojuholník mal odvesny rovnako dlhé, čiže m by sa rovnalo n.  A vtedy prepona takéhoto trojuholníka by tvorila najkratšiu vzdialenosť.

To značí, že pre rôzne rýchlosti áut existujú trojuholníky rôznych tvarov, kedy tvorí ich prepona tú najkratšiu vzdialenosť medzi autami.

okrem poslednej vety to beriem. Myslím, že trojuholník je len jeden. Derivacia to potvrdila..

Včera som išiel za synom a hovorím mu: pozri, takýto je príklad...on :derivujte,Ja: nevieme derivovať: asi 10minut sme sa bavili, navrhoval rovnicu priamky....tak hovorím, ja neviem už ani rovnicu priamky a šiel som si zapáliť. V polke cigarety a už vyškieral a hovorí, veď je to jednoduché....

A naozaj:

Pointa je v zmene súradného systému. Ak si predstavíme, že vložíme počiatok súradného systému do bodu B, čo je jedno autíčko, a toto autíčko bude stáť, z jeho pohladu sa autíčko A pohybuje jednak zvisle a jednak vodorovne, a pre pozorovatela v B sa javí, ako by autíčko A išlo výslednicou týchto rýchlostí. Ak predlžim tuto priamku (modrá) tak prebehme okolo B. Najmenšia vzdialenosť je kolmica. A je to.

Rychlosti poznáme, a vieme vypočítať alfa.

Poznáme vzdialenosti, tak vieme vypočítať beta.

Vieme rozdiel uhlov alfa a beta = gama

Vieme skutočnú vzdialenosť bodov A a B

sinus gama= AB/x

x=AB/ sinus gama

kreslené je to v mierke, aby som to overil a nemusel počítať.

okrem poslednej vety to beriem. Myslím, že trojuholník je len jeden. Derivacia to potvrdila..

Alarm, to moje tvrdenie, že pre rôzne rýchlosti áut existujú trojuholníky rôznych tvarov, kedy tvorí ich prepona tú najkratšiu vzdialenosť medzi autami, je potvrdené na nasledujúcich obrázkoch.

Urobil som výpočet pre prípad, kedy sa rýchlosti áut rovnajú. Trojuholník je naozaj iný, a je rovnoramenný.

Správnosť mojich výpočtov potvrdzuje aj výpočet urobený na základe vtipného nápadu tvojho syna, kde výsledok je na chlp rovnaký.