Paradox dvojčiat

Tono >

Je uplne jedno, ci narazis ty do auta, alebo auto do teba. Nesmies si to ale predstavovat na Zemi. Predstav si to v medzigalaktickom priestore. Vlastne ani nemas sancu zistit, ci auto narazilo do teba alebo ty do auta, pretoze vo svojom okoli vlastne nic nevidis (okolite galaxie budu okom neviditelne, lebo su daleko). Okolo seba budes vidiet len ciernu tmu a bliziace sa auto, ale nebudes vediet ci sa auto blizi k tebe alebo ty k nemu, v podstate taka uvaha ani nedava zmysel. 

riky1

V čase pružnej zrážky je to jedno, ale nie tesne po nej.  Rýchlosti telies po zrážke voči ťažisku, sú opäť presne dané, takže opäť nemáme problém s tým, ktorá z dvojíčiek sa pohybuje a akou rýchlosťou. Podľa STR je ich relatívna rýchlosť rovná https://cs.wikipedia.org/wiki/Skl%C3%A1d%C3%A1n%C3%AD_rychlost%C3%AD . Z tohto vzťahu nemôžeš určiť ich kinetickú energiu. Vyjde ti predsa nezmysel. Zo sústavy malého telesa je kinetická energia hviezdy obrovská, z pohľadu hviezdy je zanedbateľná.

Tono >

to, ze kto, do koho narazi, je uplne jedno aj pred zrazkou aj po zrazke, ako som uz pisal, zistovat, ze kto bol "narazajuci" nedava ani zmysel.

Kineticka energia je relativna, takze hociaky objekt ju moze mat v tom istom momente nulovu aj nekonecnu. Kineticka energia Zeme voci mne je 0, ale voci nejakej dalekej galaxii moze byt az nekonecna.

Tvoju kineticku energiu mozes urcit len voci autu a zaroven kineticku energiu auta len voci tebe. Nieco take ako kineticka energia sustavy "Ty-auto" nedava zmysel, rovnako ako tvoja kineticka energia (ak nie je vztahovana voci autu) nedava zmysel a rovnako kineticka energia auta.

Relativna rychlost medzi Tebou a autom po zrazke je urcite dana, ale uvazovat o rychlosti pohybu taziska sustavy "Ty-auto" nedava zmysel.

riki1

Ty si ochotný v záujme zachovania rovnocennosti sústav „obetovať“ aj zákon zachovania energie! Rovnocennosť sústav znamená iba to, že udalosti dopadnú vo všetkých sústavách rovnako. Hmotné telesá sú vždy viazané, jadrovou, elektrostatickou a gravitačnou interakciou. Celkovú energiu, ekvivalentnú hmotnosti, tvorí kľudová hmotnosť, kinetická a väzbová energia. Pri štiepení, alebo syntéze jadier je zrejmé, že celková energia a ťažisko, sa zachováva pred, aj po zrážke. Pri makroskopických telesách, stačí uvažovať iba s gravitačnou interakciou, nech by bola akokoľvek malá. Zotrvačnosť je úzko spojená so zákonom zachovania hybnosti, alebo z 1NZ. Pôvod zotrvačnosti nepoznáme, podľa Macha súvisí s potenciálom celého Vesmíru –c^2, podľa Einsteina iba s dvoma gravitačne viazanými telesami, no určite nie je náhoda, že zotrvačná a gravitačná hmotnosť sú ekvivalentné. V LT žiadna hmotnosť, alebo väzbová energia, nefiguruje. Preto ani nemá zmysel otázka ich vzájomnej kinetickej energie. V Ženeve neurýchľujeme LHC, ale pozitróny. To si uvedomil aj Einstein, preto vznikla OTR. To však neznamená, že na vysvetlenie rozdielu veku dvojíčiek potrebujeme OTR. OTR potrebujeme iba na určenie ťažiska (tenzor energie hybnosti), teda na to, aby bolo jasné, ktoré z dvojčiat bude staršie. Na určenie absolútneho rozdielu veku stačí STR, aj bez zrýchlenia. O tom, ktoré z dvojčiat je staršie nerozhoduje zrýchlenie, ale zákon zachovania hybnosti, teda rýchlosť dvojčaťa. To sa však dá pri dvoch telesách rozhodnúť len voči ťažiskovej sústave.Zmena rýchlosti samozrejme súvisí so zrýchlením, ale podstata nie je v zrýchlení, ale v rýchlosti telesa. Zrýchlenie je v STR recipročné, ale zmena zotrvačného stavu-rýchlosti dvoch telies navzájom v ťažiskovej sústave, je viazaná na hmotnosť daného telesa a  jeho absolútnu rýchlosť voči ťažisku. Ak by neboli telesá viazané, teda bez väzbovej energie, neplatil by zákon zachovania hybnosti, neplatil by 1 NZ a nemal by zmysel ani pojem ťažiska. Je jedno, či to aplikujeme pre dve telesá, alebo pre celý Vesmír. V Ženeve samozrejme nepotrebujeme riešiť problém, či sa pohybuje LHC, alebo pozitróny, ako v prípade paradoxu dvojíčiek. No ak by sme to chceli LHC riešiť exaktne, museli by sme riešiť tento problém, ako  ťažiskovú sústavu s hmotnosťou Zeme a pozitrónu.S takouto úvahou by sa pravdepodobne autor tohto „vylepšenia“ kompromitoval.

Tono>

Stale to nechapes. Ty tvrdis , citujem : "Už sa opakujem, ale zo zákona zachovania hybnosti nie je jedno, či auto narazí do teba, alebo ty do auta. Sústavu si samozrejme môžeš zvoliť ľubovolne. "

To, co tvrdis, je nepravda. Pokial nemas dalsiu, tretiu, vztaznu sustavu (napriklad Zem), nevies rozhodnut, kto do koho narazil a ani nema zmysel o takom niecom uvazovat.

To ale neznamena, ze nevieme urcit, meranim alebo vypoctom, kto zazije pri zrazke vacsie zrychlenie/spomalenie. Vzdy to bude ten s mensou hmotnostou a to, ze kto to bude, vobec  nezavisi od vzajomnej , relativnej rychlosti.

Dokonca ak by sme aj mali tu dalsiu, tretiu vztaznu sustavu (Zem) a 99,9 % ludi by tvrdilo, ze Ty si stal na chodniku a auto narazili do Teba rychlostou 50 km/hod, tak pravdepodobne existuje aj priamo v Slnecnej sustave taky meteorit, ktory sa v momente zrazky pohyboval (oproti Slnku) prave takou rychlostou a smerom  ako to auto a pozorovatel na tom meteorite bude tvrdit, ze Ty aj s celou zemou si narazil do stojacieho auta. Vo vypocitanom zrychleni/spomaleni (pre Teba aj auto) sa ale obaja zhodnete, pretoze Tvoje "spojenie" so Zemou, trenie tvojich topanok na chodniku je v porovnani so zrazkou zanedbatelne.

OTR nevznikla preto, ze by bolo v STR nieco zle, zakladny princip (postulat) STR je aj zakladny princip OTR.

riky1

Zo zákona zachovania energie a hybnosti, vyplývajú rýchlosti telies po zrážke. Takže vieš, ktoré teleso sa pohybuje a akou rýchlosťou. K žiadnemu paradoxu, ktorá dvojíčka sa pohybuje, nemôže dôjsť. Podľa tvojho výpočtu, zrýchlenie je zodpovedné za rozdielny vek dvojíčiek. Ak tvrdíš, že na sústave nezáleží, tak mi vysvetli, ako zistíš, ktorá z dvojíčiek sa pohybuje zrýchleným pohybom? Pociťovanie zrýchlenia do toho nepleť, hmotnosť dvojíčiek v tvojom výpočte nefiguruje.

Odpoveď ti na to dal pepper nick 15.marca.

riki1

Predstav si, že v padajúcom výťahu v gravitačnom poli máš 3 platne s otvormi, ktoré ležia na priamke. Fotón z vonkajšieho zdroja, prelieta cez kabínu výťahu cez prvý otvor a po priamkovej dráhe preletí aj cez druhý a tretí otvor. Je to preto, že voľný pád  sústavy padajúceho výťahu predstavuje inerciálnu sústavu, v ktorej sa svetlo šíri po priamke.  Z hľadiska vonkajšieho pozorovateľa, ležia otvory v čase preletu na parabole, z čoho pozorovateľ dedukuje zakrivenú trajektóriu fotónu. Ak sa však pohybuje výťah zrýchlene (z dôvodu motora pripojeného k výťahu), sústava je neinerciálna a fotón nepreletí cez otvory, umiestnené vo výťahu, na priamke, ale parabole. Pozorovateľ teda dokáže, že sa výťah pohybuje zrýchleným pohybom. Tvoja argumentácia pri paradoxe dvojčiat, že práve pozorovateľ v zrýchlujúcom výťahu pozoruje zakrivenú trajektóriu fotónu, vlastne popiera rovnocennosť sústav, na ktorej je STR vybudovaná.  Najjednoduchší záver je, že STR môžeme aplikovať iba na neinerciálne sústavy. To, čo môžeš pri zrýchlení sústavy počítať, je len súčet dilatácií lokálne inercionálnych sústav, kde dilatáciu počítaš z okamžitej rýchlosti výťahu. Výsledok je OK, no v lokálne inerciálnej sústave, by zas neplatil tvoj argument, že tá z dvojíčiek, ktorá vidí parabolickú dráhu fotónu bude mladšia. Nič také v lokálnej sústave neuvidí. Ja netvrdím, že tomu rozumiem, no vo fyzike nestačí argumentovať intuíciou, musíš tvrdenie formulovať matematicky. Doteraz sa nikomu nepodarilo matematicky korektne formulovať súvis dilatácie času a zrýchlenia. No experimenty s veľkou presnosťou tvrdia, že zrýchlenie nemá vplyv na dilatáciu času.

Tono>

pokial neveris tomu, ze gravitacia je zrychlenie a naopak, tak dalej tu niet o com rozpravat, lebo sme mimo sucasnej OTR  a fyziky. Ja ti to ale neberiem.

Pokial tomu veris, tak musis verit aj tomu, ze akceleracny potencial je to iste ako gravitacny potencial.

A to, ze gravitacny potencial (a teda aj akceleracny) ma zasadny vplyv na plynutie casu si uz dnes mozeme experimentalne "overit" napriklad na GPS satelitoch, ktore su dost vysoko nad Zemou aby sa to prejavilo. 

Z titulu vzajomnej rychlosti sa hodiny na GPS satelitoch spomaluju za den o 7 mikrosekund. Z titulu rozdielneho gravitacneho potencialu hodiny na GPS satelitoch nabehnu za den 45 mikrosekund (oproti hodinam na Zemi), takze vo vysledku  hodiny na GPS satelitoch nabehnu za den 45-7=38 mikrosekund. Ako vidis gro toho casu je sposobene gravitacnym (cize akceleracnym) potencialom. Takze gravitacny aj akceleracny potencial ma zasadny vplyv na plynutie casu.

Napriek tomu ale tvrdit ze GPS by bez teorie relativity nefungovalo je nezmysel. Ono je totiz vymyslene tak , ze relativita mu moze byt ukradnuta. Podrobne o tom pisem tu :

http://hayabusa.slovakforum.net/t263-topic

Tono>

 

gravitacia je zrychlenie a naopak, tak dalej tu niet o com rozpravat

 

dala by sa nejak pomocou zrýchlenia nasimulovať "antigravitácia"?

Naša gravitácia, je pre Číňanov antigtavitacia a naopak, ináč to asi nepôjde :)

Naša gravitácia, je pre Číňanov antigtavitacia a naopak, ináč to asi nepôjde :)

ale aj tak.. je to ťažko "prežgrieť", zmieriť sa s "faktom" že je gravitácia "nepolárna" sila, čiže "nemá žiadne + ani -"

a povedať si že tie fantastické "antigravitačné" rekvizity, z klasických sci fi sú "blábol"

trochu smutné poznanie

Pokiaľ vlozis dosť energie do zariadenia tak môžeš gravitaciu eliminovať, raketa zrychlenim plynov eliminuje gravitácii.

neviem ako to presne povedať..

keby sme to prirovnali k ýrobe zlata z olova

tak aj to sa dá

švacneš atóm olova do "urýchľovača", ostreľuješ ho časticami a "transmutácia" je hotová, vyrobíš zlato..

ale predsa len to nie je tá "pravá" transmutácia, pomocou kameňa mudrcov, ako sa opisuje v "alchymistických grimoároch"

Tono>

 

pokial neveris tomu, ze gravitacia je zrychlenie a naopak, tak dalej tu niet o com rozpravat, lebo sme mimo sucasnej OTR  a fyziky. Ja ti to ale neberiem.

 

Pokial tomu veris, tak musis verit aj tomu, ze akceleracny potencial je to iste ako gravitacny potencial.

 

A to, ze gravitacny potencial (a teda aj akceleracny) ma zasadny vplyv na plynutie casu si uz dnes mozeme experimentalne "overit" napriklad na GPS satelitoch, ktore su dost vysoko nad Zemou aby sa to prejavilo. 

 

Z titulu vzajomnej rychlosti sa hodiny na GPS satelitoch spomaluju za den o 7 mikrosekund. Z titulu rozdielneho gravitacneho potencialu hodiny na GPS satelitoch nabehnu za den 45 mikrosekund (oproti hodinam na Zemi), takze vo vysledku  hodiny na GPS satelitoch nabehnu za den 45-7=38 mikrosekund. Ako vidis gro toho casu je sposobene gravitacnym (cize akceleracnym) potencialom. Takze gravitacny aj akceleracny potencial ma zasadny vplyv na plynutie casu.

 

Napriek tomu ale tvrdit ze GPS by bez teorie relativity nefungovalo je nezmysel. Ono je totiz vymyslene tak , ze relativita mu moze byt ukradnuta. Podrobne o tom pisem tu :

 

http://hayabusa.slovakforum.net/t263-topic

Dilatácia času v gravitačnom potenciály vyplýva z OTR. Táto teória je matematicky exaktne formulovaná a nikde som ju nespochybňoval. O „Akceleračnom potenciály“ som ešte nepočul. Zrýchlený pohyb možno aproximačne nahradiť množinou lokálne inerciálnych sústav, kde v každom bode časopriestoru, považujeme rýchlosť za konštantnú. Tento predpoklad nám „umožňuje“, počítať dilatáciu času v tomto bode, v tejto lokálne inerciálnej sústave, podľa STR. No neoprávňuje nás to k tvrdeniu, že gravitácia a zrýchlený pohyb sú ekvivalentné. Ono sa to často uvádza, no platilo by to len v jednom bode trajektórie v časopriestore, v jednej lokálne inerciálnej sústave. 

riki1

V tom odkaze  http://hayabusa.slovakforum.net/t263-topic  si celkom názorne ilustroval, že v prijímači GPS nepotrebujeme pracovať so skutočnými, ale pseudo-vzdialenosťami satelitov. Preto, že na výpočet polohy sa nevyužíva čas, ktorý potrebuje svetlo na prechod od satelitu k prijímaču. Tento čas ani nedokážeme stanoviť. lebo nepoznáme čas, kedy bola správa satelitom vyslaná. Poznáme ale rozdeľ časov pseudonáhodných značiek, časovej základne satelitu a prijímača.Teda na absolútnom čase satelitu nezáleží. Presné atómové hodiny sú nutné k tomu, aby súradnice polohy satelitu, boli zosynchronizované s časom v satelite a na Zemi. Ten sa však v dôsledku OTR mení, inak na Zemi a inak na družici a preto sa musia hodiny na družici stále korigovať.

Tono >

ak si nepocul o "akceleracnom potenciale", to znamena ze nachapes , co priniesla OTR do relativity.

Zakladom relativity ako takej, je viera v to, ze existuje fyzika, ktora plati pre vsetkych rovnako.

OTR k tejto viere este pridala dalsiu a to tu, ze gravitacia nie je pritahovanie telies napriklad nasou Zemou, ale je to sila, ktora posobi na telesa, ak sa tieto nepohybuju  rovnomerne po priamke v casopriestore a teda akceleruju alebo spomaluju v casopriestore. Teda na Zemskom povrchu pocitujem gravitaciu nie preto, ze ma Zem pritahuje, ale preto, lebo zemsky povrch mi nedovoli ist rovnomerne po priamke v casopriestore (ktory hmota zeme zakrivuje), ale nuti ma ist po krivke a preto citim silu, ktora sa javi ako by ma Zem pritahovala. Ak by sa ten zemsky povrch podo mnou prepadol, vtedy by som siel rovnomerne priamociaro v casopriestore a prestal by som pocitovat gravitaciu. Pokial toto nepochopis,  tak OTR nechapes. 

Absolutna hodnota gravitacie alebo zrychlenia, ale nedava absulutnu rychlost plynutia casu, to by sme boli naspat v teorii eteru. Preto musime uvazovat stale potencial tychto velicin.

Vsetky doteraz prevedene experimenty v nasom blizkom okoli ukazuju, ze relativita v nasom blizkom okoli plati. 

Podla mna pravdepodobne plati v nasej gravitacne viazanej skupine galaxii ale som presvedceny, ze pre vesmir ako celok neplati.

Co sa tyka tych satelitov GPS, tak na novych sa uz na Zemi pred vystrelenim, zevraj, nastavuju hodiny tak, aby sli tu na Zemi pomalsie o 38 mikrosekund za den a teda ked su uz na orbite idu rovnako s hodinami na Zemi a zevraj by sa ta presnost tym padom nemala ani za mesiac,dva  rozist (aj bez korekcii ak by napriklad doslo k svetovej vojne). No, ale to su informacie typu jedna babka povedala ...

riki1

Rozdiel medzi gravitáciou a zrýchlením je práve v tom, že pri gravitácii, pri pohybe po geodetike, pojem sily stráca zmysel, kdežto pri zrýchlenom pohybe telesa sa pojmu sily nevyhneme. Preto nabité teleso, pohybujúce sa zrýchleným pohybom, napríklad po kruhovej dráhe, vyžaruje elm. vlnenie, ale po kruhovej geodetike nie.

Tono >

ked sa pod tebou prepadne zem, budes sa pohybovat  v 3D priestore zrychlene, ale sila na teba nebude posobit ziadna

riki1

Iste zrýchlene voči vonkajšiemu pozorovateľovi, ale je v tom rozdiel. ty sa budeš pohybovať po geodetickej krivke, teda najkratšej trajektórii v časopriestore. Podobne, ako pri 1NZ, ak sa pohybuješ rovnomerným pohybom po najkratšej trajektórii, (v prípade 1NZ po priamke), nepôsobí na teleso žiadna vonkajšia sila a teleso je inercionálne. Ak sa teleso pohybuje zrýchleným pohybom, vplyvom vonkajšej sily, zrýchlenie nedeformuje časopriestor a najkratšou trajektóriou je priamka. 

Tono napisal : "Zrýchlený pohyb možno aproximačne nahradiť množinou lokálne inerciálnych sústav, kde v každom bode časopriestoru, považujeme rýchlosť za konštantnú. Tento predpoklad nám „umožňuje“, počítať dilatáciu času v tomto bode, v tejto lokálne inerciálnej sústave, podľa STR."

Toto je pravda len pre pozorovatela, ktory dany jav pozoruje z inercialnej sustavy. Pre takeho pozorovatela, ktory sa zrychlenia zucastnuje (teda je neinercialny) to pravda nie je.

Tono napisal : "No neoprávňuje nás to k tvrdeniu, že gravitácia a zrýchlený pohyb sú ekvivalentné. Ono sa to často uvádza, no platilo by to len v jednom bode trajektórie v časopriestore, v jednej lokálne inerciálnej sústave. "

Je pravda, ze teoreticky by to platilo len v jednom bode, ale gravitacia je relevantna len u velkych objektov a u tych sa ta oblast, kde mozeme gravitaciu stotoznit so zrychlenim (teda oblast kde gravitaciu nedokazame rozlisit od zrychlenia) rozsiruje prakticky na dostatocne velke oblasti. Chybicku ktorej sa pri tom dopustame si myslim berie OTR na svoje triko.

riki1

V bežnej praxi môžeme uvažovať s gravitačnou silou podľa NZ, lebo zo sústavy Zeme je voľný pád pohyb, pod vplyvom vonkajšej sily. Odchýlka od OTR nie je spôsobená len nehomogenitou potenciálu, teda slapovými silami. Bez zakrivenia priestoru, teda iba pod vplyvom vonkajšej sily-zrýchlenia, podľa NZ, by si napríklad dostal len polovičný uhlol odchýlky trajektórie svetla atď...

Tono napisal : "Zrýchlený pohyb možno aproximačne nahradiť množinou lokálne inerciálnych sústav, kde v každom bode časopriestoru, považujeme rýchlosť za konštantnú. Tento predpoklad nám „umožňuje“, počítať dilatáciu času v tomto bode, v tejto lokálne inerciálnej sústave, podľa STR."

 

Toto je pravda len pre pozorovatela, ktory dany jav pozoruje z inercialnej sustavy. Pre takeho pozorovatela, ktory sa zrychlenia zucastnuje (teda je neinercialny) to pravda nie je.

 

 

Nie je to jedno, ale nič to nemení na tom, že zrýchlenie nemá vplyv na dilatáciu času. Počítal som metriku na rotujúcom disku z hľadiska inerciálneho a neinerciálneho pozorovateľa:

https://drive.google.com/file/d/0B7BknNOgf2GldlFVLUNpbW1wVkU/view

Štvorhybnosť https://cs.wikipedia.org/wiki/%C4%8Cty%C5%99vektor#.C4.8Cty.C5.99hybnost  je v LT invariant. Teda z každej sústavy sa zachováva. Hmotné dvojíčky, každá s inou hmotnosťou, sa pohybujú voči sebe relatívnou rýchlosťou v. Z každej sústavy môže dvojíčka určiť štvorhybnosť tej druhej. Rýchlosť je podľa mňa recipročná pre obe dvojíčky. Štvorhybnosť bude rôzna, preto, že aj hmotnosť dvojíčiek je rôzna. Celková energia dvojíčiek teda nie je rovnaká, aj keď sa pohybujú rovnomerným priamočiarym pohybom a závisí od sústavy dvojíčky. V tejto úvahe som niekde spravil chybu. Ak mi napíšeš správne matematické riešenie tohto príkladu, alebo uvedieš odkaz na riešenie, bude po probléme s paradoxom dvojčiat.

Tono>

Ja si stale myslim, ze relativitu chapes, len nechapes co ti hovorim.

Teraz ti to vysvetlim este raz uplne polopatisticky.

Dvojicka na zakladni (alebo na Zemi) vidi, ako si dvojicka v rakete lieta, moze krizom krazom zrychlovat aj spomalovat, tej dvojicke na Zemi aj tak staci rozlozit zrychlenia dvojicky zrychlujucej na male useky a spocitat casovu dilataciu pomocou STR. Vypocet dvojicky na Zemi ukaze, ze dvojicke v rakete uplynolo menej casu ako dvojicke na Zemi. Povedzme ze dvojicke na Zemi uplynuko 6 rokov a dvojicke v rakete 4 roky. S tymto urcite suhlasis. Je jedno ci dvojicka v rakete zrychluje alebo nezrychluje, to zrychlenie (ani zrychlovaci potencial) nema ziadny vplyv na casovu dilataciu, na tu ma vplyv len vzajomna relativna rychlost.

Ale teraz zacne pocitat dvojicka v rakete casovu dilataciu. Vieme ze jej uplynu 4 roky a jej vypocet musi ukazat, ze dvojicke na Zemi uplynulo 6 rokov. Ale ako do certa ? Ved z pohladu dvojicky v rakete sa proti nej pohybuje predsa dvojicka na Zemi. Takze ak dvojicke v rakete uplynu 4 roky, tak podla vzajomnej relativnej rychlosti by dvojicke na Zemi muselo uplynut este menej ! Lenze tej predsa musi uplynut viac ako 4 roky konkretne 6. A prave preto, ked pocitame casovu dilataciu s pohladu dvojicky v rakete, musime brat do uvahy aj akceleracny potencial. Lebo nieco musi tie roky od 4 do 6 pridat !

Inac ten akceleracny potencial nie len pridava ale aj ubera roky, zalezi od toho ci zrychluje ku Zemi alebo od Zemi.

Ja s paradoxom dvojiciek nemam absolutne ziadny problem.

K matematike sa "znizim" az ked by som bol  v koncoch so svojou intuiciou a vacsinou aj tak nemusim, lebo mam Google.

Riki1

Naschvál som dal príklad, keď sa celková energia z pohľadu sústav nezachováva. Ty si mi ale neodpovedal na provokačnú otázku, ako som očakával. Problém dvoch telies-dvojčiat, teda dvoch sústav sa dá zmysluplne riešiť iba zo sústavy, kde platia zákony zachovania energie a hybnosti. Takáto udalosť môže byť napríklad ich pružná zrážka, alebo aj štart rakiet dvojíčiek z jednej sústavy. (pri nepružnej zrážke, alebo tam kde sa mení forma energie, raketové motory, to musí platiť tiež, ale je to zložité, lebo tam vstupujú ďalšie premenné) Pre neviazané telesá (napríklad gravitačne, alebo elektrostaticky) nemá zmysel ich ťažisko, alebo momenty hybnosti. Nadobudli by zmysel, iba ak by sa znova stretli v jednej sústave. Napríklad ich opätovná kolízia. Takto formulovaný paradox prestáva byť paradoxom. Pozri si relativistické riešenia v tomto odkaze: https://en.wikipedia.org/wiki/Elastic_collision Nič nebráni nahradiť telesá dvojíčkami a vypočítať ich rýchlosti.