Skočiť na obsah

Paradox dvojčiat


tyso

Odporúčané príspevky

tak skusim este raz :

ak sa dvojicky od seba vzdaluju, tak   mame jasnu situaciu kde  nepotrebujeme ani rozhodovat kto je mladsi   kedze to je klasicka relativita sucasnosti.  Ale po otocke sa situacia meni,  pri stretnuti si mozu porovnat hodiny a ziadna relativita sucasnosti im nepomoze.

 

To co sa teda snazime spravit je   vytvorit hodiny, ktore vdaka telemetrii ukazuju cas  tej druhej dvojicky.    A nie je podstatne ze vacsinu casu ukazuju nezmysel ale to ze pri stretnuti by na nich mal byt spravny cas tej druhej dvojicky. 

 

A  k dopleru :  pri odlete mi telemetria ukazuje  ze sa cas spomalil   c/(c-v) ,  co je klasicky efekt dopplera  ( priznam sa ze tu som na neistej pode, potrebujem tu skombinovat    oneskorenie, casovy posun a dilataciu.    A to je presne kombinacia kde sa da chyba spravit snad vsade 

Odkaz na príspevok
Zdieľať na iných stránkach

a to podla mna nie je pravda,  to je skolskz priklad s plavcom co plava tam a spat,   ak je tam prud tak je vzdy pomalsi pretoze to co ziska vdaka prudu nenahradi to co stratil.  Ale toto su uvahy, podme ratat ako to je naozaj.   Zratajme co ukazuju "telemetricke hodiny"   jednemu aj druhému.   Tam niekde musi byt asymetria

Odkaz na príspevok
Zdieľať na iných stránkach

mám hádanku..

kde pôjdu hodiny pomalšie, resp. rýchlejšie, na zemi, alebo na mesiaci?

zem je síce "hlbšia" gravitačná jama (na ťažšom objekte, idú hodiny pomalšie), ale mesiac, obieha okolo zeme (na rýchlejšom objekte idú hodiny pomalšie)

takže ak na zemi, a mesiaci umiestnime, atómové hodiny, a pokúsime sa ich synchronizovať, ktoré z nich budú zaostávať?

Odkaz na príspevok
Zdieľať na iných stránkach

tiež si myslím že efekt od gravitácie bude silnejší

vygooglil som toto

http://settheory.net/general-relativity-effects

netreba ani letieť na mesiac.. stačí vyliezť do výšky 2000 m nad morom..

a človek bude "starnúť rýchlejšie", o 6,9 s za milión rokov  :happyroll:

rozdiel oproti mesiacu je 2 s za storočie

Odkaz na príspevok
Zdieľať na iných stránkach

Pri pocitani v sustave otacajucej sa dvojicky musime podla mna urobit nasledujuci predpoklad:
Som sice neinercialna dvojicka, ale z mojho pohladu sa moja draha nemeni a idem stale rovnakym smerom. Kedysi som stretla inercialnu dvojicku a po "otoceni" ju zasa stretnem - je to, akoby sa otocil vesmir o 180° a inercialna dvojicka, ktora predtym bola za mnou, je teraz predo mnou.

 

Tato zmena polohy by mala byt tou nespojitostou, kvoli ktorej musime korigovat cas, ktory my vidime na hodinach inercialnej dvojicky, a velkost tejto korekcie je zavisla od nasej vzdialenosti - cim vacsia vzdialenost, tym vacsia korekcia. Tato korekcia predstavuje time gap na obrazku http://math.ucr.edu/home/baez/physics/Relativity/SR/TwinParadox/gap.gif
Este by som to chapal aj takto: otocenim sa vytvori 2 kopia inercialnej dvojicky na mojej buducej drahe, synchronizovana s povodnou, takze ked ju stretnem bude starsia podla STR dilatacie.

 

Matematicky by ta korekcia mala byt, ze clen vx/c² v Lorentzovej transformacii casu nebude najprv rast a po otoceni klesat (a pri stretnuti bude =0 a dvojicky budu rovnako stare), ale bude stale rast, az pri stretnuti nadobudne hodnotu 2vL/c², kde L je vzdialenost dvojiciek pri otocke.

Odkaz na príspevok
Zdieľať na iných stránkach

pepper nick

 

Trajektorie som pre jednoduchosť zvolil tak:  https://docs.google.com/file/d/0B7BknNOgf2GldUpQQUxiZ2FleEk/edit  , že z pohľadu družice, sa tá druhá neotáča. Majú v každom čase rovnakú zložku rýchlosti Vy.  Takže úlohu môžeš zredukovať na kmitanie v x-ovej osi, podobne, ako kmitanie hodín umiestnených na koncoch struny.

Odkaz na príspevok
Zdieľať na iných stránkach

mám hádanku..

kde pôjdu hodiny pomalšie, resp. rýchlejšie, na zemi, alebo na mesiaci?

zem je síce "hlbšia" gravitačná jama (na ťažšom objekte, idú hodiny pomalšie), ale mesiac, obieha okolo zeme (na rýchlejšom objekte idú hodiny pomalšie)

takže ak na zemi, a mesiaci umiestnime, atómové hodiny, a pokúsime sa ich synchronizovať, ktoré z nich budú zaostávať?

Môžeš sem dať prosím ťa odkaz, kde je popísaný fyzikálny jav, na základe ktorého idú atómové hodiny pomalšie v prostredí s vyššou gravitáciou?

Odkaz na príspevok
Zdieľať na iných stránkach

tyso

skusam najst fyzikalny dovod pre time gap ci uz http://math.ucr.edu/home/baez/physics/Relativity/SR/TwinParadox/gap.gif alebo

http://math.ucr.edu/home/baez/physics/Relativity/SR/TwinParadox/gr.gif

t.j. ci otocenie prebehne skokom alebo postupne - ten gap nie je prilis odlisny a cas otacania mozes zmensovat az limitne k nule - pruzny odraz alebo synchronizacia 3.dvojicky letiacej spat.

Ked sa vraciam, v mojej neinercialnej sustave sa vsetko okolo hybe zrychlene a ja citim silu, ale nech sa deje co chce, na 1.dvojicku to nema najmensi vlyv. Po skonceni neinercialneho manevra sa ale 1. dvojicka v mojej sustave ocitne na uplne inom mieste, nez bola pred manevrom - a ona ziaden dramaticky presun nezbadala. Preto podla mna v mojej sustave musim k udaju na hodinkach 1.dvojicky jednorazovo - nespojite - pripisat hodnotu 2vL/c² z dovodu tohto jej presunu. Je jedno, ako som sa otacal, time gap korekcia zavisi od rozdielu nasich vzajomnych rychlosti pred a po otacani.

Odkaz na príspevok
Zdieľať na iných stránkach

Tono
podobne zjednodusenie je v mojom prvom prispevku na predchadzajucej strane:
su 2 inercialne sustavy, v kazdej je pozorovatel, po stretnuti obaja preskocia do opacnej sustavy, znova sa stretnu, znova preskocia a tak dokola.
Pri stretnuti maju rovnaky cas. Tuto hru na paternosteri aspon chapem. Cas pozorovany z harmonicky sa pohybujucej suradnej sustavy prebieha asi dost zlozito.
 

Odkaz na príspevok
Zdieľať na iných stránkach

pepper

 

Ta druha dvojicka je povodcom zmeny sústav, vlastne ten tvoj gap je kompenzacia relativity súčasnosti kedže ta je posunuta ak existuje vzajomna nenulova rychlost. ked si zoberies efekt dialatcie času je dôsledkom posunutia sustav v plochej metrike.

Odkaz na príspevok
Zdieľať na iných stránkach

pepper nick

 

To, že sú sústavy na jednom trojrozmernom priestorovom mieste, nie je vôbec podstatné. V štvorrozmernom priestore sa predsa nenachádzajú na rovnakom mieste. Takže žiadny preskok z jednej sústavy do druhej sa nedá akceptovať. Môj výpočet v OTR je nekorektný, lebo som použil Schwarschildovu metriku, ktorá je statická. Koeficienty metrického tenzora sú len funkciou polohy, nie času. Z Schwarschildovej metriky nedostaneme ani len  STR dilatáciu. Musíme ju pridať k výpočtu dodatočne, tak ako sa to počíta pri GPS družiciach. Dilatácia OTR (statická gravitácia) + dilatácia STR (LT),  pohyb. To je ale mix dvoch prístupov. Je jasné, že metrika musí byť iba jedna, a musí akceptovať oba faktory, gravitáciu a rýchlosť. Je zmätočné, že sa statická Schwarschildova metrika aplikuje na rýchlosti objektov v, blízke c. To je neakceptovateľné, rovnako, ako nezmysly, ktoré z toho vychádzajú. No žiadnu lepšiu metriku nepoznám. Ak chceš do LT dosadiť správnu relatívnu rýchlosť v, tak musíš použiť známi Einsteinov vzorec pre skladanie rýchlostí družíc. Lenže ten je odvodený pre konštantné rýchlosti v1 a v2 družíc, čo v tomto prípade neplatí.    

Odkaz na príspevok
Zdieľať na iných stránkach

V http://bib.tiera.ru/b/107229 je na 2 stranach 115-117 Example 5.5.5 (The twin “paradox”) strucne opisane a VYSVETLENE, ako sa rata cas 2.dvojicky na Zemi zo sustavy 1.dvojicky v otacajucej sa rakete:
 

On turning about Eva experiences a force which reduces her velocity and accelerates her towards the Earth and Eli. This means that she experiences a gravitational force directed away from the Earth. Eli is higher up in this gravitational field and ages faster than Eva, because of the gravitational time dilation. We assume that Eva has constant proper acceleration and is stationary in a hyperbolically accelerated frame as she turns about.

"pri otacani Eva citi silu, ktora ju zastavi a rozbehne spat k Eli na Zemi. Znamena to, ze Eva citi gravitacnu silu, ktora ju odtlaca smerom od Zeme. Na Eli tiez posobi toto gravitacne pole, ale ona sa nachadza ovela dalej od centra a v dosledku gravitacnej casovej dilatacie starne rychlejsie ako Eva. Predpokladame, ze na Evu posobi konstantne zrychlenie a jej sustava sa pocas otacania pohybuje hyperbolicky zrychlene"

 

Velmi zaujimave. Hyperbolicke zrychlenie chapem priblizne ako zrychlenie, ktore by zazila kometa, ktora obehne okolo hviezdy po hyperbolickej drahe v pripade, ze by tam ta hviezda nebola.
Centrum tohto pola ma byt v bode kritickeho obratenia s nekonecnym zrychlenim - pruzneho odrazu. Je jasne, cim silnejsie Eva zapne motory, tym viac sa k tomuto bodu priblizi. Toto gravitacne pole musi mat zvlastne vlastnosti, kedze vekovy rozdiel medzi dvojickami zavisi linearne od vzdialenosti, v ktorej sa Eva otocila, potom Eli musi v tom poli ostarnut dvojnasobne, ked je v dvojnasobnej vyske, trojnasobne, ked je v trojnasobnej vyske atd. Ale mozno hyperbolicke pole ma taky efekt, nie som schopny to posudit.

V http://arxiv.org/pdf/1002.4154 autor priznava, ze zostarnutie Eli v dosledku gravitacnej casovej dilatacie sa zhoduje s time gap 6,4 roka iba v pripade limitneho otocenia pruznym odrazom, rovnice 9, 10.
Ak Eva brzdi velmi pozvolne, tak takymto gravitacnym polom PD vysvetlit nemozeme.
Aj nadalej mozem spekulovat, ze Eva pocas otacania prekona nejaku casopriestorovu nelinearitu, ktora prehodi Eli zo vzdialenosti 8 sv.rokov spoza Evinho chrbta 8 sv.rokov pred jej nos a o 6,4 roka dopredu v case.
Pretoze mi je velmi podozrive, ze 1.dvojicka zostarne presne o tolko, comu sa rovna vzdialenostna korekcia v Lorentzovej transformacii casu v pripade ze sa dvojicka vobec neotoci.

ps. zda sa ze v OTR je aj zrychlenie relativne, podla Evy sa Eli nachadza v gravitacnom poli, ale Eli neciti ziadne zrychlenie. Neviem to stravit.
 

Odkaz na príspevok
Zdieľať na iných stránkach

Tono
riesenie pomocou 2 sustav v STR, jednej co leti prec a druhej, co sa vracia, je limitnym pripadom, kedy je vekovy rozdiel dvojiciek maximalny. Ide o to, aku matematiku a fyzikalnu interpretaciu pouzit, ak chceme cely dej sledovat z jedinej sustavy, ktora leti prec, otoci sa a vracia sa. STR na to neposkytuje nijake nastroje. V tej knizke hore je vysvetlenie: otacanim 2.dvojicky vznike gravitacne pole, pricom dvojicky v nom starnu rozne rychlo, lebo na ne posobi rozna sila, kedze kazda je v inej vzdialenosti od stredu pola.
Neviem, ci to vysvetlenie je oficialne, ci je jedine, v kazdom pripade aspon nejake, pretoze dosial som nevedel o ziadnom.

 

Ked budes pocitat otocenie dvojicky pomocou hviezdy, je to este zlozitejsie, lebo na dvojicku neposobi sila. Ale mozno je to to iste, akurat neviem ci pole hviezdy ma pozadovane vlastnosti na starnutie dvojicky na Zemi - funguje totiz stale.
STR dilataciu musis brat ako zaklad, ktory vekovy rozdiel sposobue. Otocenie a veci okolo su treba iba na to, aby situacia nebola symetricka a STR dilatacny rozdiel sa zachoval az do navratu.
 

Odkaz na príspevok
Zdieľať na iných stránkach

pepper nick

 

Vysvetľovať korekciu času zrýchlením je nezmysel. Mne vyšla OTR dilatácia pri oblete hviezdy zanedbateľná, voči  dilatácii počas priamočiareho letu. Navyše oblet, alebo brzdenie, nijako nekoreluje s dĺžkou inerciálneho letu. Iba prítomnosť hviezdy dáva zmysel, ktorá dvojička letí a ktorá stojí. Mám pocit, že pri STR sa už ľudia prestávajú držať zdravého rozumu, ale Loedelových diagramov. Konkrétne pri rotujúcich družiciach, sú družice pri stretnutí podľa klasickej fyziky na inom mieste, ako podľa STR. Podľa STR sa nikdy ani nestretnú aj keď sú na rovnakej obežnej dráhe.  Ale ani tento fakt by nevysvetlil to, že ich palubné hodiny idú zhodne. Vysvetlenie je rovnako prirodzené, ako pri oblete hviezdy. To určuje gravitačný potenciál. Nemôžeme vymyslieť matematickú trajektóriu pohybu, bez toho, aby sme zároveň nedefinovali, prečo sa po takejto trajektórii telesá pohybujú. Ak si zvolíme sústavu spojenú s jednou z družíc, gravitačný potenciál telesa, teraz družicu obieha. Musíme teda počítať s retardovaným potenciálom http://www.hep.princeton.edu/~mcdonald/examples/maxwell.pdf

ktorý je väčší, ako statický, takže hodiny na družici pôjdu pomalšie. Tento faktor je rovnaký, ako faktor relatívneho pohybu druhej družice. Výsledok je, že hodiny idú rovnako. Samozrejme, to by neplatílo, pre ľubovoľnú rýchlosť, iba orbitálnu.

Odkaz na príspevok
Zdieľať na iných stránkach

Tono
Priklad z horeuvedenej knihy: Eva leti 4 sv.roky, otoci sa a vrati rychlostou 0,8c, 1/gama = 0,6.
Eli na Zemi na svojich hodinach vidi 5 + 5 = 10 rokov, na Evinych vidi 10 x 0,6 = 6 rokov - dilatacia.
Eva na svojich hodinach vidi 3 + 3 roky, letela do vzdialenosti 4 x 0,6 = 2,4 sv.roka - kontrakcia. Evin vek vidia obe rovnako.
Eva vidi na Elinych hodinkach 6 x 0,6 = 3,6 roka - dilatacia. V symetrickej STR paradox, Elin vek vidi kazda inak (10 a 3,6 roka).

Paradox zmizne, ked pocas (zrychleneho) otocenia nabehne na Elinych hodinach z Evinho pohladu 6,4 roka a na Evinych hodinach z Elinho pohladu par sekund, zavisi od priebehu otocenia. Ty stale hovoris o zrychleni z Elinho pohladu, ktory je neparadoxny. S paradoxom mozeme nieco robit z Evinho pohladu, ta sa otacala.

 

To riesenie zhodneho casu na obiehajucich druziciach pomocou retardovaneho potencialu je zaujimave. Cize ak sa pohybujem periodicky, teda nutne viazane, tak ma viaze retardovany potencial, ci uz gravitacny, elektrostaicky alebo zotrvacny. Musim v danej vyske letiet rychlejsie. Ale to musi aj ta druha druzica. Porozmyslam.
V tom grafe vzajomnej rychlosti druzic, kedy je nulova?
 

Odkaz na príspevok
Zdieľať na iných stránkach

pepper nick

 

Ak by brzdenie vysvetľovalo paradox, musela by dilatácia spôsobená zrýchlením súvisieť s celkovou dobou letu. Zrýchlenie závisí iba od rýchlosti a nie od vzdialenosti. To by bola nová fyzika. Nestačí, ak to niekto tvrdí, musí matematicky formulovať teóriu, ktorej predpovede sa dajú experimentálne testovať. To, čo autor uvádza neviem posúdiť. Musel by uviesť, na základe akej metriky počítal. Napríklad v odkaze http://en.wikipedia.org/wiki/Metric_tensor_(general_relativity) som našiel 14 metrík a všetky sú viac menej statické. Kerrova metrika je dynamická iba v zmysle rotácie telesa okolo svojej osi. Iné zas počítajú s expanziou vesmíru. Aj výpočet, ktorý som robil je v tomto zmysle nekorektný.

Ak teda nič zmysluplné vypočítať nevieme, tak aspoň aproximácie pre v << c by mali korešpondovať s realitou. Preto som použil retardovaný potenciál, ktorý bol pôvodne odvodený pre náboj. Rovnice gravitačného a elektrického poľa sú pre skalárny potenciál rovnaké. Samozrejme v OTR skalárny potenciál nefiguruje, nahradil ho zakrivený časopriestor. No pri slabých poliach prejde Einsteinova rovnica na Poissonovu. Nijaké krkolomné preskoky sa pri v << c nemôžu diať. A tu už merať dokážeme, aj keď len v mikrosekundách.

Odkaz na príspevok
Zdieľať na iných stránkach

nemusi byt nova fyzika, moze zavisiet rychlost od vzdialenosti, napr. pri rotacii. Teoria matematicky formulovana je. V http://bib.tiera.ru/b/107229 (link je opraveny) na str. 113, rovnica 5.63 (g je zrychlenie), je metrika priestoru, ako ho vidime zo sustavy hyperbolicky zrychlovanej (~konstantne g). Pre hodnoty, vzdialenost Evy (od singularity tejto metriky) = 0, vzdialenost Eli(sabeth) = 4LY, g = nekonecno mu aj vyjde 6.4 roka (str 116).

Ale nie som obhajca takehoto riesenia.
Je "spravne" iba pre nekonecne g, lenze dvojicka moze letiet nie 4LY ale 4000000LY a otacat sa moze 1000 rokov, takze g << nekonecno, napriek tomu bude gap = 2 * gama * 4MLY / c² a celu metriku si moze ...
Navyse posledny signal, co dostala Eva od Lizy pred otocenim, sa od prveho po otoceni lisi o 6,4 roka a v Lizinej sustave su cela tychto impulzov od seba vzdialene 6,4LY, zatialco v sustave Evy musia byt sustredene do oblasti jej brzdenia (co pri nekonecnom zrychleni = 0LY). Eva by mohla byt v (casopriestorovej) singularite gravitacneho pola vzniknuteho pri jej otaceni, ale v metrike 5.63 nic take nie je.
Metrika v Einsteinovej teorii mala fyzikalnu pricinu. Metriky z reklamy, kde regionalny autorizovany predajca namiesa koeficienty casovych a/alebo priestorovych zloziek podla poslednej mody, nekupujem.

Mozeme nechat obiehat relativisticke miony v cyklotrone a nerelativisticke sa budu prizerat. Ale je rozdiel, ked ma neinercialna sustava trvale zrychlenie a ked uvazujeme originalny dvojickovy experiment, kde takmer cely cas sa dvojicky pohybuju inercialne. V tom prvom zacinaju vystupovat aj dalsie efekty, ako som sa docital, na uzavretej drahe nemozeme synchronizovat hodiny (ako som predtym tvrdil o prstenci okolo Zeme), co sa mi zda divne.

Zrejme sa daju v nahradnych pokusoch vysledky ucesat, ale mna zaujima prave ten krkolomny preskok.


 

Odkaz na príspevok
Zdieľať na iných stránkach

  • Pred 11 mesiacmi...

Tak sa skusme po case zase vratit k paradoxu dvojciat.

A spravme analyzu poriadne, ziadne  triky :)

 

dvojicky  s hodinami dame do dvoch krabic, jedna bude na rakete, druha na centrifuge.    na kazdej krabici mame vysielac a prijmac. Vysielac vysiela sekundove pulzy,   druha krabica ich prijma a tak vieme aky je cas v druhej krabici.

 

1. pri starte rakety  na rovnake zrychlenie spustime aj centrifugu a tak ziadna dvojicka podla mna nevie zistit ci je v rakete alebo nie,

pocas velkeho zrychlenia im cas plynie rovnako,  potom ich nechame vzdalovat sa rok rychlostou 0,8 c, po roku zase zapneme motory a centrifugu, a zacnu sa blizit.   A pred pristanim opat.

 

Podla mna teda mozeme useky pocas ktorych idu motory  vynechat, tam ziadny casovy rozdiel nevznikne a mame tak ciste vztahy STR,   a po dobrej analyze budeme vidiet  co je za paradaxom dvojciat.

 

V kazdom okamihu vieme aky je cas druhej krabice a na konci mozeme porovnat aj hodiny. 

Toto je klasicky omyl, spajany s OTR, ked si ludia myslia, ze rychlost plynutia casu je zavisla na "sile" ktoru pocitujem, ktora je vyvolana bud gravitaciou alebo zrychlenim. To by ale potom nebola ziadna relativita, ale absolutne urcenie rychlosti plynutia casu v urcitom mieste. Rozdiel v plynuti casu je sposobeny potencialom, v tomto pripade akceleracnym. Ten potencial je dany zlozkou zrychlenia kolmou voci druhej dvojicke (a zalezi tiez na znamienku). Takze kolma zlozka zrychlenia dvojicky v centifuge (z titulu centrifugovania) voci druhej dvojicke je chvilu plus a chvilu rovnake  minus a tak sa opakuje periodicky a efekt tohoto "zrychlenia" je teda nulovy (zanedbatelny). Takze je uplne jedno, ci je dvojicka v centrifuge, alebo iba sedi na obycajnej stolicke a caka na navrat druhej dvojicky.

 

Dvojicky som spocital uz davnejsie jednoduchou numerickou metodou, je to napriklad tu :

 

http://hayabusa.slovakforum.net/t267-topic#2604

Odkaz na príspevok
Zdieľať na iných stránkach

  • Pred 2 týždňami...

Velmi dobre vysvetlenie.

Neviem preco nie je toto riesenie automaticky uvedene pri kazdej zmienke o PD, aj v tej  http://bib.tiera.ru/b/107229
Stacila by zmienka, ze dvojicka na Zemi pocita dilataciu v rakete dt' = dt (1 - v²/c²)^0.5 a dvojicka v rakete pocita dilataciu na Zemi dt' = dt (1 - v²/c²)^0.5 e^(a*h/c²)
t.j. pre zrychlujucu sa dvojicku sa zrychluje/spomaluje chod ostatnych hodin aj umerne ich vzdialenosti od dvojicky a zrychlenia samotnej dvojicky.
Nebol by PD taky tajomny.

Odkaz na príspevok
Zdieľať na iných stránkach

Diki, asi to nie je uvede vsade pri zmienke o PD preto, lebo kazdy len teoretizuje, ale ked to ma skutocne spocitat, tak uz sa mu nechce alebo vacsinou nevie. Samozrejme nic Ti nebrani v tom, aby si moj link uviedol kde len chces, budem rad.

 

poznamka : ten tvoj link uvedeny v poslednom prispevku mne nefunguje.

Odkaz na príspevok
Zdieľať na iných stránkach

Vytvorte si účet alebo sa prihláste, aby ste mohli písať príspevky

Ak chcete odoslať príspevok, musíte byť členom

Vytvoriť konto

Zaregistrujte si nový účet v našej komunite. Je to ľahké!

Zaregistrovať si nové konto

Prihlásiť sa

Máte už konto? Prihláste sa tu.

Prihlásiť sa teraz
×
×
  • Vytvoriť nové...

Dôležitá informácia

Táto stránka používa súbory cookies, pre zlepšenie používania stránok tohto webu. Pre viac informácií kliknite sem. Ďalšie informácie nájdete na stránke Zásady ochrany osobných údajov