Mohutnosť nekonečna

Ale no tak tyso:)

Hadam sa pochopíme navzájom, či nie?

Ná úvod píšeš:

"Pouzil som uplne zakladnu logiku, kde som ti ukazal ze ak bude predpoklad ze mas zoznam vsetkych racionalnychj cisel tak spor nenastane". No ja si nepamatam na ten dôkaz, akurat sme sa bavili, že môže v tom zozname vzniknúť iracionálne číslo.To je všetko, čo si tak k tomu povedal. Ale To slovo MOZE - NEMUSÍ je podstatne. Ak môže vzniknút aj racionálne číslo nie len iracionálne, tak to nemôže byt jednoznačný dôkaz, že k sporu nedochádza na množine racionálnych čísiel.

A teda skúsim ešte raz, posledný krát, pretože ty sa mna nesnažíš pochopiť a bojuješ akurat s tým, že je všetko dobre, len ja to mam nejak pomylene. Ale tak to nie je. Nemám nič pomýlené a rozumiem cantorovmu dokazu.

1. k tomu zoznamu. Ja som predovšetkým písal, že úplny konečný zoznam racionálnych čísiel na intervale 0-1 po k-tu pozíciu , ako aj pre realne čísla nie je štvorcová matica

2. Na takomto konečnom zoazname čísiel vznikne prostredníctvom diagonalnej metódy tvorby nového čísla vždy nové číslo, ktoré nie je v tej konečnej štvorcovej matici vid predosle príspevky, obrázok. No kedže ta matica úplných čísiel po k- tu pozíciu nie je štvorcová matica, tak v neštvorcovej matici budú všetky čísla po k te miesto, nevytvoríš do k teho miesta pre (k=1,2,3...prirodzené číslo) nové číslo, ktoré v zozname nebude.

3. pokial sa začneme baviť o nekonečných zoznamoch racionálnych, či reálnych číslach, tak preracionálne čísla ako aj reálne čísla je matica v oboch smeroch nekonečná, čo sa javí ako štvorcová (TU JE TA POINTA, TA ZMENA OPROTI KONECNÝM ZOZNAMOM), pretože nerozlišujeme väčšie a menšie nekonečno (co som popísal pre bijekcie o vlastnosti nekonecna). Pre lubovolny konečný zoznam po k- tu pozíciu je to vždy neštvorcová matica, kde nevytvoríš nové číslo. No v cantorovom dôkaze vznika pre nekonečný zoznam štvorcová matica (je tam proste ten predpoklad - inak by nemohol zmenit kazdé číslo vv kazdom riadku na k tej pozícii). Dalej som ti uviedol maticu , ktorá je tiež nekonečná pre počet stlpcov a riadkov a zoznam nie je úplny. to bol príklad zoznamu 0,1 0,11 0,111 0,1111 atd. V takejto matici chýba nekonečne veľa prirodzených čísiel na tom istom intervale. Co je pointa toho cantorovho dôkazu ako vytvoril nové číslo, ktoré tam nie je.

4. Ak konštruujeme úplný konečný zoznam racionálnych čísiel tak vieme, že počet riadkov je vždy väčší ako počet stlpcov a to 10 na k. To znamená, že v nekonečne sa odohrala zmena vlastnosti, pretože z neštvorcovej matice vznikla štvorcová matica s nekonečným počtom riadkov aj stĺpcov. Ale to je práve to sporné, že vzniká takýto spor kde z neštvorcovej matice vznikla štvorcová matica. To je ten predpoklad čo vytvoril ten cantorov spor, preto sú tieto úvahy diagonilizácie nesprávne, lebo dobre vieme, že:

-zoznam všetkých racionálnych čísiel na ľubovolne malom intervale zhltne celé nekonečno napr. 0,1-0,12 a tak by sme nemali čo priradiť tým zvyšným číslam napr. 0,12-1. Teda určite na ľubovolnom intervale racionálnych čísiel zhltneme aj viac alefov 0, keď to budú nekonečné podmnožiny tej nekonečnej množiny. teda zjednotenie podmnožin nejakej nekonečnej množiny racionálnych čísiel na intervale 0-1 zhltne viac nekonečien, teda nekonečne vela nekonečných podmnožín nekonečnej množiny racionálnych čísiel na intervale 0-1 by malo väčšiu mohutnost ako nekonečná množina prirodzených čísiel.

DaleJ:)

Nasiel som taky odkaz http://www.birdz.sk/webka/mehmed/blog/nie-je-nekonecno-ako-nekonecno/90323-blogspot.html

V nej mehmed popisuje bijekciu. Najskor ukazuje, že mohutnost je počet prvkov a pri konečnej množine je to jasne lebo vidime priradnenie pre všetky prvky množiny.

Potom prejde na bijekciu nekonecnych množín a tu zacina ta zabava:)

napise

1-2

2-4

3-6

4-8

...

a tak do nekonečna

Z toho jasne vyplýva, že nekonečno*2=nekonečno, inak dôkaz neplatí.

Takže z vlastnosti bijekcie pre nekonečné množiny okamžite vypadne táto vlastnosť. Takže neexistuje väčšie nekonečno s nekonečnom môžme robit čokolvek až prídeme k wikipedii a tam je

2 na elef0=c, teda nejaké väčšie nekonečno. Odkial sa zobral tento nový predpoklad. násobili sme nekonečno aj nekonečnom stale to bolo nekonečno až ked sme zaačali násobit dvojky nekonečne vela krát VYSLO niečo viac.

Je naozaj úsmevne pozorovat logiku v matematike. Zrazu sa tu objaví niečo, čo sa vzalo len tak. Vlastne nevzalo sa to len tak. Ma to na svedomí Cantor:) Lebo predviedol dalsi kúsok svoje logiky a nesporne dokazal, že v stvorcovej matici nekonecien predsa len cosi chýba :) takže ked robili binarne kombinácie prisli k 2 na alef0 a kedže cantor ib dal nezvratny argument:) tak sa stalo z 2 na alef0 nerovne alef0 a teda continuum.

robopol to je presne zakladna logika ktoru odmietas akceptovat.

vyrok A z neho odvodenie B, dokaz ze B je nepravda. dosledok vyrok A je nepravda.

Ak o B neviem povedat ci je pravdive alebo nie, tak nemozem nic povedat ani o vyroku A. je teda zasadne dolezite ci to cislo moze byt iracionalne alebo ci je racionalne. Lenze ty nechapes dokaz sporom a co musi byt dokazane a co nie. A kedze si nedas povedat, tak som to uzavrel. Nemam k tomu co viac dodat.

A uplny zoznam racionalnych cisel na prvych 1000 poziciach urcite nie je matica, kedze hned druhe cislo 1/3 ma nekonecny rozvoj. Tvoje matice su cosi vedlajsie co priamo nesuvisi s problemom. Ty si vytvoril uplne iny problem, ktory nesuvisi s problemom a ratas aky pocet cisel sa da zapisat v matici. Suvis je skutocne len volny.

A dokaz preco je vacsie nekonecno som ti dal, mnozina vsetkych podmnozin nekonecnej mnoziny ma vyssiu mohutnost ako samotna mnozina. Vzdy.

O logike mna ty nemusíš učiť. Logika sa nevyskytuje len v matematike. A kedže ja nemam problém s logickými tvrdeniami, tak zas ked chces tvrdit ze spor nenastáva musíš dokázat ze kazde takto vzniknute číslo je IRACIONALNE, a kedže to nie je pravda, môže byt aj racionálne, tak nemôžes vyhlasit, že to plati.

A, výrok A je pravdivý - iracionalne číslo

B, Výrok B je pravdivý - racionálne číslo

C, Ak platí výrok IBA výrok A, potom nie je spor na množine racionálnych

D, Ak neplatí Iba výrok A, teda platí Aj výrok B, potom výrok že v množine racionálnych čísiel dochádza k sporu platí pre pre zjednotenie výrokov A a B.

A kedže zase len konstatujes, že co písem suvisí len okrajovo, pricom ja píšem že to súvisí dost, tak to je len zase v tvojej rovine konstatovania. Ty proste konstatujes, nevysvetlujes, len konstatujes, že niekto robí chybu, ale to je nanic taka debata, takže ja to teda vzdavam, ved v skutocnosti ja teba nepotrebujem o nicom presviedcat.

A zrejme si si nevsimol, že v nekonečnom zozname racionálnych čísiel , ktorá je len nekonečná podmnožina racionálnych čísiel na tom istom intervale chýba nekonečne veľa racionálnych čísiel a KAZDA takáto podmnožina je zoznam, na ktorom môžeš hladať číslo ktoré tam nie je A NAJDES HO, nezaleži na technike, ale je ich nekonečne vela takých čísiel, čo tam nie su a sú racionálne.

Takže ak ti dám len podmnožinu intervalu napr. ako som ti dával 1,1-1,111111111111111111....

1,1

1,11

1,111

1,1111

.....

Tak na takomto intervale chýba nekonečne vela racionálnych čísiel. A pri cantorovom dôkaze ty neobjavíš či máš len jednu podmnožinu alebo všetky podmnožiny v zozname. Pretože ta diagonála najde číslo, ktoré tam chýba pri jednej nekonečnej podmnožine. Pričom tam môžeš mat nekonečne vela takýchto podmnožín. Ničím sa nelíši ma nekonečný poečt riadkov a destainných miest.

nuz nepoucujem, prestal som na tu temu debatovat :), kedze ide o trivialny dokaz sporom, tak ak chces dokazat svoje tvrdenie ( ze cantorov dokaz vedie k paradoxu) musis ty dokazat ze cantorova konstrukcia vytvori racionalne cislo. Ak sa o cisle neda rozhodnut, tak sa neda pouzit dokaz sporom a teda cantorov postup nad racionalnymi cislami nevedie k paradoxu. Pozri si dokaz sporom v ucebnici logiky.

A zase opakujes ze mas nejaku nekonecnu mnozinu, ale Canor nedokazuje ci je uplna alebo aka, on predpoklada ze mas uplnu. Ak vytvoris umyselne neuplnu, tak to nema nic spolocne s Cantorovym dokazom. Ak vies ze je neuplna, tak co ti dokaze najdenie cisla co tam nie je ? Keby si venoval cas DOKLADNEMU premysleniu toho co tvrdi cantor, tak by tato debata bola zmysluplnejsia.

ale take trivialnosti mi tu nemusis pisat, ze musí vytvorit racionálne číslo. ved to som ti povedal, že to je pravda, maš to vyssie. ZE MUSI. Ty len prepokladas, že nevytvoríš, tak že vies prd povedat o tom ci tam je spor na mnozine racionalnych. Hlavne že ani poriadne necitas co ti píšem.

Ja som ukázal, že na nekonečnej množine racionalnych čísiel nájdem cez diagonalizacnu metodu racionalne číslo, ktoré tam nie je. A tvoje predpoklady sú na prd. Lebo ked je úplná tak cez diagonalizačnú metódu vieš posudzovat iba neúplné množiny, takú ako som ti dal. INE nie. Uplné množiny sa cez nu nedaju spolahlivo preverit a to je jadro logiky.

to je podla teba trivialne ? :)

mas nekonecny zoznam, kde sice vies zistit kazdu poziciu ale vysledok je cislo s nekonecnym rozvojom a ty vies ze je racionalne ? :)

Tak to dokaz, a budem ticho.

Ak teda za dokaz nepovazujes to ze si si vytvoril vlastny zoznam a tam si zmenou vytvoril racionalne cislo co tam nebolo. Pretoze s dokazom nema nic spolocne. Ja citam co pises ale nesnazim sa riesit kazdy nezmysel.

Zober skutocny zoznam vsetkych racionalnych cisel ( ako sa vytvori som ukazal vyssie a mozes si to aj najst ), pouzi diagonalnu metodu a ukaz ze vytvorene cislo je racionalne. To by bol skutocny problem.

( prakticky je jednoduchsie zapisovat cisla nie v dekadickom ale v binarnom rozvoji, kedze tam je zmena cifry jednoznacna. U cantora si mozes vybrat z 9 moznosti a tu staci zmeni 1 na 0 a opacne ).

Ved ja som ani nepísal, že mám dôkaz, ktorý by sa ti páčil, kde jednoznačne vytvorím racionálne číslo. Ale ty taktiež nemáš dôkaz, že vytvoríš len iracionálne, takže cez toto sa nedá rozhodnút. Nie že ty povieš, že tam spor nieje. to by si mohol prehlásiť iba vtedy keby si mal dokaz ze kazde take vytvorené číslo je iracionálne. A mne sa nechce hladat sposob ako to preukázat, že to môže byť racionálne. Pretože ti píšem ovela dolezitejsiu skutocnost, že nemôžeš použit diagonalizacnu metodu na úplný zoznam, lebo to nie je štvorcová mativa a ukázal som ti to na konečnom zozname, že v takejto matici nemôžeš zmeniť všetký čísla cez diagonálu. Teda intuitivne je jasné, že počet riadkov je väčšie nekonečno ako počet desatinných miest. preto je ta metoda cantorova zla, lebo ona da dobrý výsledok iba pri podmnožine racionálnych čísiel.

A keby si chcel dôkaz tak musíš dat algoritmus tvorby úplnej množiny racionálnych čísiel na nejakom intervale. Potom sa da mozno preukázat na tom algoritme niečo.

Zober si situáciu, že zoznam racionálnych tvorím tak, že pod seba píšem všetkých nekonečne veľa podmnožín toho intervalu. Pre každú podmnožinu spotrebuješ nekonečno. A dalej sa cez diagonálu nedostaneš, pretože si na konci v nekonečnom desatinnom mieste, lenže to si prešiel iba jednu podmnožinu. Čo s tou ďalšou podmnožinou a nekonečne veľa podmnožín čo je pod nimi, ako ich zmeníš, keď si uz v prvej podmnožine na nekonecnom desatinnom mieste?

podla mna sa dá povedat, že neprejdeš s diagonálou cez všetky čísla v úplnej množine racionálnych čísiel. Jednoducho prejdeš prvú podmnožinu a si na nekonečnom desatinnom mieste a nemáš ako prejsť ten zvyšok v tom zozname.

tak ta klame intuicia :)

ale ked uz teda intuicia, mame nekonecny zoznam cisel s nekonecnym rozvojom. A kedze v jednom pripade sa take cislo podari vytvorit tak potom mozes intuitivne povedat ze to nekonecno rozvoja je akesi vacsie ako nekonecno ppoctu cisel. A v druhom sa to nepodari takze tie nekonecne su akesi rovnake.

A zase si pri prechadzani, nekonecny zoznam sa neda "prejst", musis jeho vlastnosti zistit inak. Ako keby si nevedel prekrocit tuto hranicu, stale myslis v pojmoch algoritmu ci prechadzania. A kedze ten neskonci, tak sa tocis dokola.

Viem vytvorit zoznam racionalnych cisel ( 1/1, 1/2,2/1, 3/1,3/2,2/3, ..... ) ( cize si zober maticu prirodzenych cisel a zacni ju prechadzar po diagonalach, takto postupne vytvaras vsetky kombinacie prirodzenych cisel a ziadne nevynechas )

na kazdej pozcii viem zistit cislo, cifru cokolvek. Pre kazde racionalne cislo viem jeho poziciu. Toto je teda dobre zoradeny zoznam, ktory je spocitalny v zmysle bijekcie do prirodzenych cisel. A v tomto zozname mozes pouzit cantorovu diagonalu, vieme ze vytvorene cislo je s nekonecnym rozvojom ale nie je zhodne s ziadnym racionalnym cislom.

Tak fajn konecne si nieco konkretne navrhol nejaký neúplný sled racionálnych čísiel. Daj mi kompletný algorimus vzorec kde dostadím prirodzené číslo a dostanem racionálne číslo. Potom musíme previest tieto čísla do 10 sústavy a napísat ich pod sebou. A pouzijeme tvoju slávnu diagonálu a budes sa divit.

Vzorec teda nemáš:

tak aspon tých pár čísiel

1-1

2-0,5

3-2,00

4-3,000

5-1,5000

6-0,75000

...

vytvaram náhodne racionalne číslo, ktoré nie je v zozname

0,61354 pre k=6, takto vytvorím spočitatelne veľa racionálnych čísiel , ktoré nie su v zozname do 6 desatinného miesta pre prvých 6 čísiel zoznamu. pre ľubovolne velký zoznam platí to isté. Takže pokial pre k=lubovolne velké číslo vždy dokážem vytvorit racionálne číslo, ktoré tam nie je do k riadku, potom to nemá dôvod neplatit pre k=nekonečno. To je cantorova diagonala.

http://www.homeschoo...s-countable.php

niekam mi zmizol prispevok, posielam zatial odkaz na to ze nejde o neuplny a ze nejde o moj navrh, pochadza tiez od cantora

a tvoja chyba je jasna

Takže pokial pre k=lubovolne velké číslo vždy dokážem vytvorit racionálne číslo, ktoré tam nie je do k riadku, potom to nemá dôvod neplatit pre k=nekonečno

To jednoducho neplati, v kazdom konecnom zozname chybaju cisla. Ak by to platilo aj pre nekonecno, tak by slo o prazdny pojem.

ty stale nerozumies co chcem povedat, a potom aj tie odpovede tak vyzeraju. No nic sa nedá robit s tym, to by som sa tu umaral do nekonecna a ty by si stale len konštatoval.

pre zaujímavost, pre iných nie s klapkami na ociach a usiach:

citat:

Výnimku tvorí sná len Georg Cantor (1845-1918), ktorý vysoko ocenil Bolzanov príno s pre teóriu množín. Zdá sa však, že

s Bolzanovými Paradoxmi nekonečna sa zoznámil až v dobe,

ke základné myšlienky svojej teórie množín už zverejnil a

bol nútený bráni svoju koncepciu aktuálneho nekonečna pred

rôznymi, často nevyberanými útokmi. Preto uvítal každé dielo

z minulosti, ktorým by toto svoje poňatie mohol podoprie. Na

druhej strane odlišnosti Bolzanovej teórie od svojej vlastnej

Cantor považoval za Bolzanove omyly. Ako príklad nám môže

poslúži už spomínaný Bolzanov princíp ekvivalencie nekoneč-

ných množín, ktorý je v spore s princípom, poda ktorého nijakú

množinu nemožno zobrazi na množinu všetkých jej podmno-

žín, či s nespočítatenosou množiny všetkých reálnych čísel,

dokázanými Cantorom. Takáto interpretácia Bolzanovej teórie

množín bola všeobecne prijímaná až do sedemdesiatych rokov

nášho storočia.

Z týchto odlišností Bolzanovej a Cantorovej teórie množín

však môžeme vyvodi i celkom protichodný záver, totiž, že sa

mýli Cantor – a po ňom skoro celá matematika – ke

považuje za aktualizovatený obor P(X) všetkých podmno-

žín nekonečnej množiny X či obor vôbec všetkých reálnych čí-

sel. Cantorov dôkaz, poda ktorého pre ubovoné zobrazenie

f : X → P(X) možno diagonálnou metódou zostroji množinu

Y = {x ∈ X ; x ∈/ f(x)} takú, že platí Y ∈ P(X), no Y = f(x) pre

každé x ∈ X, možno chápa aj ako návod umožňujúci pre ubovonú množinu A podmnožín nekonečnej množiny X zostroji množinu Y ⊆ X, Y ∈/ A. Podobne Cantorov dôkaz nespo-

čítatenosti oboru reálnych čísel možno tiež chápa ako dôkaz

nemožnosti vyčerpa obor reálnych čísel akoukovek ich mno-

žinou. Hocako vekú množinu reálnych čísel si vezmeme, poda

Bolzanovho princípu ju môžeme očíslova prirodzenými číslami

a Cantorovou metódou potom vždy vieme zostroji nejaké nové

reálne číslo, ktoré do tejto množiny nepatrí.

Pritom nebude bez zaujímavosti si uvedomi, že sme sa

práve stretli s dvoma navzájom si odporujúcimi princípmi tý-

kajúcimi sa nekonečných množín, z ktorých každý možno zdô-

vodni a motivova teologickými argumentami. Na prvý pohad sa zdá, že ak sú množiny stále väčších a väčších mohutností možné, t. j. bezosporné, tak ich uskutočnenie je v Bo-

žej moci, teda prijatie Cantorovho stanoviska je už predpojaté

v našom zámere po stotožnení oborov všetkého bezosporného

a uskutočniteného. Na druhej strane ak X, Y sú nekonečné

množiny, tak vzájomne jednoznačné zobrazenie X na Y je tiež

bezosporné, teda z rovnakých teologických dôvodov aj uskutoč-

nitené, čo pre zmenu dáva za pravdu Bolzanovi. Môžeme sa

teda rozhodnú: bu budeme ma v univerze množín

”

bohatú”

štruktúru nekonečných mohutností a

”

chudobný” obor zobrazení, lebo

”

bohatý” obor zobrazení a jedinú nekonečnú mohutnos.

zdroj:http://thales.doa.fm...imat/animat.pdf

strana:54-55

Tento paradox ako prvý publikoval Césare Burali-Forti v

r. 1897, no bol známy už Cantorovi v r. 1895, rovnako ako

paradox množinyvšetkých kardinálnych čísel aparadox

množiny všetkých množín, ktoré možno privies k sporu podobným spôsobom. Tak napríklad nech M je množina všetkých

množín a P(M) je množina všetkých jej podmnožín. Nakoko

prvky množiny P(M) sú zas len množiny, zrejme P(M) ⊆ M,

teda tým skôr P(M) má mohutnos menšiu alebo rovnú ako

M. Na druhej strane, poda už spomínanej Cantorovej vety,

mohutnos M je menšia ako mohutnos P(M), čo je spor.

6. Paradoxy teórie množín a niektoré klasické paradoxy 71

Uvedené paradoxy Cantor nechápal ako spory.Vyvodil z nich

závery, že také obory objektov ako obor všetkých množín alebo

obor všetkých ordinálnych či kardinálnych čísel nie sú aktualizovatené, to znamená, že si nemožno všetky objekty do nich

spadajúce vyklada ako uskutočnené. Teda tieto obory nie sú

množinami v pravom slova zmysle. Cantor pre ne použil názov

nekonzistentné množiny. V odpovedi na list, v ktorom sa o tom

zmieňuje Dedekindovi, mu však tento položil záludnú otázku:

Ako vie, že nekonzistentnými množinami sú len také množiny

ako množina všetkých množín, množina všetkých kardinálnych čísel množina všetkých ordinálnych čísel a podobne? Čím

možno zaruči, že nekonzistentnými sa neukážu už množiny,

ktorým pripisuje kardinálne čísla ℵ0, ℵ1, . . . , ℵω, . . . ?

Cantor odpovedá, že to zaruči nevie a také niečo nemožno

zaruči ani pre konečné množiny. Konzistentnos konečných

množín treba chápa ako nedokázatenú pravdu, to jest

”

axió-

mu aritmetiky”. Podobne konzistentnos množín, ktorým ako

kardinálne čísla zodpovedajú rôzne alefy, je tak

”

axiómou zovšeobecnenej transfinitnej aritmetiky”.

Tým sa však Cantor usvedčuje zo značnej bezstarostnosti,

s akou pristupuje k aktualizácii čoraz obsiahlejších nekoneč-

ných oborov objektov.

Richardov paradox je akousi paródiou na Cantorovu diagonálnu metódu. Uvažujme množinu D všetkých podmnožín

množiny prirodzených čísel, ktoré možno definova pomocou

nejakého výrazu v slovenskom jazyku. Keže každý výraz slovenského jazyka pozostáva len z konečného počtu výskytov

znakov abecedy, ktorých je tiež len konečne mnoho, množina

D je zrejme spočítatená. Možno ju teda zoradi do postupnosti

X0, X1, . . . , Xn, . . .. Potom slovenský výraz

”

množina všetkých

prirodzených čísel, ktoré nie sú prvkami množiny nachádzajú-

cej sa na mieste prislúchajúcom tomuto číslu v práve opísanej

postupnosti” definuje množinu Y = {n ∈ N ; n ∈/ Xn}. Zrejme

Y ∈ D, no pre každé n je Y = Xn, čo je spor.

A NA ZAVER SOM NASIEL:

A s týmto pánom plne súhlasím!

No najostrejšej a najrozsiahlejšej, pritom však hlbokej a prenikavej kritike podrobil množinové i logicistické poňatie matematiky a taktiež koncepciu aktuálneho nekonečna Brouwer,

ktorého tak právom považujeme za zakladatea myšlienkového

smeru v matematike nazývaného intuicionizmus. Jeho prvé

vystúpenia z rokov 1907-8 postupne prerástli do nového vý-

vojového prúdu v matematike, ktorý sa s takzvaným klasickým prúdom definitívne rozišiel. Z alších najvýznamnejších

predstaviteov tohto hnutia treba spomenú aspoň Hermanna

Weyla (1885 -1955) a Arenda Heytinga.

Poda Brouwera aktuálne nekonečno je odažitá fikcia, ktorá

nezodpovedá nielen nijakému javu reálneho sveta, ale ani nijakej našej predstave, a jeho zavedením do matematiky sa táto

veda dostáva do vleku mystiky. Tým však matematika stráca

akúkovek intuitívnu názornos, čo nutne vedie k zhubnému

bujneniu formálnych metód, ktoré sa tak stávajú jediným bezpečným vodidlom v temnom labyrinte aktuálne nekonečných

množín, neprístupnom nášmu nazeraniu ani predstavivosti.

Za jediný zdroj matematiky považuje Brouwer udský rozum;

presnejšie, matematika je totožná s exaktnou zložkou nášho

myslenia a žiadna iná veda, teda ani filozofia či logika, nemôže

slúži na podopretie jej základných predpokladov. Jej jediným

predpokladom je racionálna intuícia, ktorou s bezprostrednou

jasnosou a istotou nazeráme matematické idey, pojmy, tvrdenia a dôkazy. Zvláštnosou rozumu umožňujúcou vznik matematiky je jeho schopnos vníma a rozlišova dva po sebe

nasledujúce časové okamihy ako dva rôzne okamihy. Abstrakciu tohto vedomého rozlišovacieho aktu môžeme v hĺbke svojej

intuície podrobi neohraničenému opakovaniu.

Ten sa zakladá

na takzvanej Löwenheimovej-Skolemovej vete, ktorú r. 1919

dokázal Thoralf Skolem zovšeobecnením jedného výsledku Leopolda Löwenheima z r. 1915. Poda tejto vety v ubovonom

množinovom modeli nejakej axiomatickej teórie možno nájs

jej spočítatený podmodel. Hoci táto veta bola neskôr prekrytá

silnejšou Gödelovou vetou o úplnosti, Skolemov paradox bol

objavený zároveň s ňou. Tu uvedieme len jednu z jeho mož-

ných podôb.

Ak je teória ZF bezosporná, tak má i nejaký spočítatený model. Tento model pozostáva z nejakého množinového univerza

V, ktorého prvky sú teraz pre nás jedinými

”

množinami” a z nejakej relácie E na V, ktorá predstavuje vzah náležania x ∈ y.

Navyše, ako vyplýva z vety o kolapse, ktorú dokázal Andrzej

Mostowski, V a E možno voli tak, že každá

”

množina” x ∈ V je

i podmnožinou V a pre x, y ∈ V platí (x, y) ∈ E ⇔ x ∈ y. V modeli (V , E) možno teraz obvyklým spôsobom vybudova celú

množinovú matematiku. Napríklad možno v ňom nadefinova

”

množinu N všetkých prirodzených čísel”,

”

množinu R všetkých

reálnych čísel” aj

”

množiny” väčších mohutností. Pri pohade

zvonku však pre tieto

”

množiny” platí N ⊆ V , R ⊆ V , čiže N a R

sú obe spočítatené, teda ekvivalentné množiny. Do konca celé

univerzum V je pri takomto pohade ekvivalentné s N.

Zrejme Skolemov paradox nie je logickým sporom. Pri pohade znútra totiž vo (V , E ) platia všetky tvrdenia dokázatené

v ZF. Napríklad

”

množina R je nespočítatená”, t. j. neexistuje

vzájomne jednoznačné zobrazenie f ∈ V množiny N na mno-

žinu R. Jednako nás však tento paradox upozorňuje na relatívnos takých pojmov ako spočítatenos a nespočítatenos

11. Gödelove vety o neúplnosti a ich dôsledky 199

a vôbec pojem kardinálneho čísla nekonečnej množiny. Teda

existenciu nekonečných kardinálov nemusíme nutne chápa

ako niečo absolútne a objektívne, ale môžeme si ju vyklada

aj modelovo, ako nedostatočnos oboru všetkých zobrazení daného univerza. Pri pohade zvonku totiž nijakú škálu nekoneč-

ných kardinálov nevidno, všetky nekonečné množiny sú navzá-

jom ekvivalentné. Ale to je predsa náš starý známy Bolzanov

princíp ekvivalencie nekonečných množín, ktorý – vyhodený

z Cantorovej teórie množín oknom – vracia sa do nej v podobe

Skolemovho paradoxu dvermi.

Bolzanovo poňatie teórie množín by jej vari mohlo zaruči

onen skromnejší, no istejší zmysel, ktorý stratila na potulkách

nesmiernymi priestormi Cantorovho raja. Bolo by naivné domnieva sa, že práve ono, i keby bolo všeobecne prijaté, by

mohlo vyvies matematiku ako jedinú z krízy typickej pre celok

súčasnej vedy a už tobôž prekona túto krízu v plnom rozsahu.

Rozvinutie Bolzanovho poňatia a rozpracovanie matematiky

v jeho rámci by však mohlo, pokia je v tomto smere vôbec

nejaká nádej, k tomu svojou troškou prispie. Z ambicióznych

cieov alternatívnej teórie množín, ktorá jedným zo svojich vý-

chodísk a vedúcich zámerov na Bolzana vedome nadväzuje, vyhlásených jej tvorcom Petrom Vopěnkom, je však reálne dosiahnuteným maximom len toto ich uvedené skromné minimum.

Ukáza, ako si alternatívna teória množín na svojej ceste po-

čína a ako sa jej darí či nedarí napĺňa jej ciele, už nie je témou

tejto knižky

robopol, ked si to precitas poriadne tak to je co ti pisem stale. Mozes si zvolit axiomy teorie mnozin a podla toho dostanes vysledky. Mozes povedat ze bijekcia nekonecnych mnozin sa neda spravit a potom ziadne mensie a vacsie nekonecna neexistuju. A skutocne su aj take axiomaticke systemy mnozin, ktore to robia. A mozes aj viest debaty co to presne znamena z pohladu teologie a filozofie. Len sa do takej debaty nezapajam.

To co nemozes je zobrat cantorovo ponatie mnzin, suhlasit s porovnanim mohutnosti vdaka bijekcii a potom nesuhlasit s vysledkom.

No tak to ale nie je, ty si tu tvrdil viac veci medzi nimi si tu aj písal, že to nemá žiaden súvis s aktuálnym nekonečnom.

A kedže si neprečítal ani tie citaty, tak ti len zhrniem, že cantorove ponatie množín ako si to nazval vedie k paradoxom, a je ich niekolko, a v tej publikacii ich najdes. Ked uz neveris mne tak si aspon prečítaj čo tam píšu. To nie je vec rozhodnutia, či poňatia.

Existuje totiž čo som ti napísal na samom začiatku a to čo si nevedel dokázat ani vyvráti, že limitne smerujem k 10 na alef0, alebo pre binarny zapís 2 na alef0.

Dal som ti tu aj príklad toho, že ak budeš mat zoznam kde budu po sebe podmnožiny množiny racionálnych čísiel, tak diagonalizačnou metódou ty nerobíš rozdiel medzi tým, že suma podmnožin množiny racionálnych čísiel majú väčšiu mohutnosť ako množina racionálnych.

A tu nejde ani tak o to dokázať, že spor vzniká na množine racionálnych, ale o povodný dôkaz na množine realnych, pričom v publikácii sú uvedené paradoxy. A tak to nie len ja nebverím týmto cantorovým nezmyslom, ale významní matematici sa vzdali takejto predstavy o nerozpornosti cantarových množín.

tyso, ty sám nevieš o tom dost aby si aj tu vynašal sudy o nejakých omyloch. Ja sa tu aspon nehrám na to, že ovladam tieto teorie a je to čisto iba moj pokus nieco najst co mi nepasuje, v com vidím problem.

Pouzivanie symbolickeho (ludskeho) zapisu cisla ako sucast (hocijakeho) dokazu je maximalne pofiderne.

Je logicke ziadat, aby dokaz dal rovnaky vysledok pri lubovolnom zapise cisla, v lubovolnej sustave.

Vykoname 'diagonalovy dokaz' v jednotkovej (mononarnej), dvojkovej (binarnej) a nekonecnovej (infinitarnej) sustave.

Jednotkova sustava: prirodzene cislo sa zapisuje postupnostou iba jednej cifry, 1-ky. Nie je pozicna, kazde (desatinne) miesto su jednotky.

0 =

1 = 1

2 = 11

3 = 111

4 = 1111

5 = 11111

...

Zoznam vsetkych prirodzenych cisel vytvori stvorcovu maticu s bezproblemovou diagonalou. Zial, cifry cisla, nazbieraneho po diagonale, nemame cim negovat (mame iba 1-ku).

Matica je uplna, dalsie cislo nevytvorime.

Nekonecnova sustava: prirodzene cislo sa zapisuje iba jednou cifrou. Cifier je nekonecne vela, nieco ako (nekonecna) cinstina (tu pre ilustraciu latinka). Sustava nie je pozicna, jedina pozicia predstavuje akykolvek rad.

0 = a

1 = b

2 = c

3 = d

4 = e

5 = f

...

Zoznam vsetkych prirodzenych cisel vytvori jednostlpcovu maticu bez diagonaly. Matica je uplna, dalsie cislo nevytvorime.

Dvojkova sustava: prirodzene cislo sa zapisuje postupnostou dvoch cifier, 0-y a 1-ky. Je pozicna.

0 = 0

1 = 1

2 = 10

3 = 11

4 = 100

5 = 101

...

Zoznam vsetkych prirodzenych cisel zapisany v pozicnej, (napr. dvojkovej) sustave, vytvori maticu. Jej rozmery? Prirodzenych cisel je nekonecne vela, co oznacime aleph_0. Na vytvorenie nekonecne velkeho cisla potrebujeme tiez aleph_0 cifier (pomocou konecneho poctu cifier zrejme nezapiseme nekonecne velke cislo). Ale z aleph_0 nul a jednotiek vytvorime az 2^aleph_0 kombinacii.

Tato absurdita je sposobena tym, ze kombinujeme jablka s hruskami, velkost cisla s jeho zapisom v pozicnej sustave (napr. dvojkovej), kde jednotlive pozicie nemaju proporcionalny vztah k velkosti cisla. Ak je zapis cisla nekonecne dlhy, tak na vyjadrenje nekonecnej velkosti cisla staci zopar (dokonca jedna) cifier na zodpovedajucom (nekonecnom) desatinnom mieste. Naopak vsetky 'konecne' pozicie (jednotky, dvojky, stvorky, osmicky, ...) k velkosti cisla nijako neprispievaju.

Ako teda mozeme tvrdit, ze ak v nekonecne dlhom rade jednotiek a nul jednu cifru znegujeme, zmeni sa tym velkost cisla? Jeho zapis sa zmeni, ale existuje korelacia medzi zapisom cisla a jeho velkostou, ak je zapis nekonecne dlhy?

Vyhrady voci dvojkovej sustave sa tykaju vsetkych ostatnych pozicnych sustav.

Tu sa nejedna o logiku. Tu sa jedna o nejasny pojem zoznamu prirodzenych cisel vyjadrenych v binarnom tvare, o ktorom tvrdime, ze je uplny a potom zasa, ze je neuplny. Podla logiky plati iba jedna z tychto moznosti.

Pepper nick

presne tak, kombinácii ako vytvorit číslo je vždy viac ako môžeš umiestniť do štvorcovej matice. potrebovali by sme inú maticu zápisu sqrt(2^n), čo nie je vždy celé číslo, ale to len pre názornost ako ma vyzerat uplná štvorcová matica binárnych čísiel.

No a to čo píšeš o ťažkostiach zápisu nekonečného zápisu čísla v binárnej forme, ako aj v 10 tak len ukazuje problémy s takýmito zápismi.

A ešte jeden vystižný citát aj ku cantorovej diagonále:

Základná neformálna myšlienka Gödelovho objavu je vlastne

vemi jednoduchá, no o to vtipnejšia. Gödel iba

”

mierne” posunul nám už známy Epimenidov paradox ukrytý v spornom tvrdení, ktoré vypovedá o sebe samom:

”

som nepravdivé”, a v ktorom koniec koncov väzí jadro Cantorovej diagonálnej metódy

i väčšiny skôr uvedených paradoxov. Namiesto toho Gödelovo

tvrdenie o sebe hovorí:

”

som nedokázatené”.

Zdanlivo sa tým nič nemení. I toto tvrdenie, zdá sa, vedie

k sporu. Ak je totiž nepravdivé, tak je dokázatené. Ak je však

náš pojem dokázatenosti korektný, t. j. všetky dokázatené

tvrdenia sú pravdivé, o čom nehodláme pochybova, tak je i

toto tvrdenie pravdivé. To je však spor. Zostáva teda len druhá

možnos, že Gödelovo tvrdenie je pravdivé. Tým sme teda toto

tvrdenie dokázali. Potom je však dokázatené, teda pravdivé, a

zároveň je pravda, čo hovorí, teda je nedokázatené. Opä sme

dospeli k sporu.

Tomuto sporu sa však možno vyhnú, ak pod dokázate-

nosou, o ktorej sa hovorí v Gödelovom tvrdení, budeme rozumie dokázatenos v rámci nejakého pevného formálneho

axiomatického systému. Z hadiska takéhoto systému náš

”

dô-

kaz” Gödelovho tvrdenia nie je nijakým dôkazom, ale iba neformálnym intuitívnym zdôvodnením jeho pravdivosti, opierajú-

cim sa o vieru v korektnos príslušného formálneho systému.

Potom Gödelovo tvrdenie bude príkladom pravdivého, no nedokázateného tvrdenia. Podobne, z korektnosti príslušného systému nutne vyplýva tiež nedokázatenos negácie Gödelovho

11. Gödelove vety o neúplnosti a ich dôsledky 171

tvrdenia. Teda toto tvrdenie je nevyvrátitené. V opačnom prí-

pade by totiž bolo pravdivé zároveň so svojou negáciou.

pepper nick, kedze cantorov dokaz operuje s dekadickym rozvojom, tak sa neda pouzit na ine zapisy. Da sa pouzit na lubovolnu pozicnu sustavu ale nie mimo nej.

To samo o sebe nie je problem, skus napriklad dokazat kriteria delitelnosti 2 pri zapise rimskymi cislicami :)

Otazka teda znie ci kazde realne cislo sa da zapisat v dekadickom rozvoji. A tu je trochu problem, ak je rozvoj nekonecny tak to mozes predpokladat ale nie je to samozrejme. Sice vieme pre lubovolnu poziciu najst cifru a vieme dokazat ze sucet takehoto nekonecneho radu bude v limite zelane cislo ale znamena to ze ho vieme zapisat ? Ak povies ze ano, tak cantorov dokaz nema trhlinu. Ak povies ze nie, tak potom cantorov dokaz nesedi, kedze realne cisla nemozeme zapisat.

Okrem tohto dokazu vsak mame dalsie dokazy, ktore hovoria ze potencna mnozina nekonecnej mnoziny ma vyssiu mohutnost, samotne tvrdenie ze mohutnost realnych cisel ma vyssiu mohutnost ako mnozina prirodzenych cisel je teda spravne ( musime ale predpokladat ze existuje nekonecna mnozina prirodzenych cisel, co tiez nie je uplne intuitivne a to je zrejme jadro tvojej namietky) .

tyso

http://en.wikipedia.org/wiki/Cantor%27s_diagonal_argument dokaze, ze "mnozina celych cisel je spocitatelna, mnozina realnych cisel nespocitatelna" v 3 krokoch:

1) mnozina celych cisel je spocitatelna (aleph_0). Sporom dokazem, ze (v binarnom zapise) je ich nespocitatelne.

2) nespocitatelny zoznam (celych) cisel v binarnom tvare zobrazim na interval {0, 1} (kapitola Real numbers).

3) interval {0,1} zobrazim na interval {-∞, ∞}, teda na vsetky realne cisla (kapitola Real numbers).

Kroky 2, 3 tu nediskutujem. Zapis realneho cisla nekonecnym rozvojom vpravo od desatinnej ciarky je podla mna korektny.

Nespochybnujem existenciu nekonecnej mnoziny celych cisel. Spochybnujem predpoklad v kroku 1), ze zoznam vsetkych celych cisel v binarnom tvare je spocitatelny a aj jeho "vyvratenie" na zaklade dalsieho predpokladu, ze nekonecne dlhy pozicny zapis (vlavo od desatinnej ciarky) celeho cisla vyjadruje jeho velkost.

- pomer N/2^N (poctu znakov N k poctu kombinacii 2^N) ma pre N -> ∞ limitu =0. Cantor intuitivne N cislami ocisluje 2^N kombinacii, mne intuitivne naskoci husia koza.

- novonajdene cislo je tiez cele (v kroku 1.) - bud sme podhodnotili predpokladany pocet cisel (celych cisle by bolo nespocitatelne, ale to si nemyslim), alebo viac retazcov predstavuje rovnaku velkost (co sa podla mojej intuicie moze stat pri nekonecne dlhom pozicnom zapise).

- dokaz by mal byt nezavisly od sposobu zapisu cisla. Zapis je ludska konstrukcia a ak zapis pouzijeme v dokaze, treba dokazy pre vsetky sposoby zapisu. Totiz ak cislo zapiseme binarne (pozicne), predpokladame jeho dalsiu vlastnost - jeho velkost je vyjadritelna suctom aspon jednej jedotky, dvojky, stvorky ... a nekonecne dlhy zapis ma tuto vlastnost iba intuitivne.

Ako si povedal, s nekonecnom nemame prakticku skusenost (o jedinu sme sa obrali big bangom :). Cantorov dokaz robi zavery z intuitivnych predpokladov. Tie vedu k tvrdeniu, ze stvorec ma rovnaky pocet bodov ako usecka. Moja intuicia sa brani to uznat. Ide o taku drobnost: nekonecno ako hodnota do matematiky nepatri, pocet prvkov moziny (mohutnost) nekonecny byt moze. Mam mnozinu kilometrovych usekov nejakej (vesmirnej) vzdialenosti. Tych usekov moze byt nekonecne vela, ale pospajat ich uz nemozem.

potom mas niekde chybu :)

1. Ak existuje aspon jedno bijektivne zobrazenie mnoziny prirodzenych cisel do druhej mnoziny, tak maju rovnaku mohutnost. To hovori definicia.

A to celych cisel take zobrazenie existuje.

Ale nerozumiem ani zapisu co tvrdis, tak to napisem este raz:

Predpoklad :

mnozina prirodzenych cisel je nekonecna. ( axiom, co to znamena je ina otazka),

kazde realne cislo mozem zapisat ako postupnost cifier, ktora je nekonecna,

A teraz spor : ( bavime sa o intervale 0,1 a pre jednoduchost pojde o binarny zapis )

1. predpokladam ze realne su spocitatelne a teda existuje ocislovany zoznam realnych cisel zapisanych binarne

2. Diagonalne ukazem ze v takom pripade dokazem zostrojit cislo, ktore v zozname nie je co je v spore s predpokladom

A teda neexistuje ocislovany zoznam, co znamena ze neexistuje bijektivne zobrazenie realnych do prirodzenych cisel. A to znamena ze maju roznu mohutnost ( a realne maju vacsiu, kedze prirodzene sa daju zobrazit do realnych ) .

1. Neviem ci teda hovoris o celych alebo realnych cislach. Kedze ich cantor necisluje :) A dokaz vyuziva to ze cislo dokazeme zapisat takto, poziadavke ze dokaz musi byt nezavisly na zapise nerozumiem. Podobne pri hladani zobrazenia racionalnych cisel vyuzivame zapis zlomku. Je to jednoduchsie. A vysledokplati nezavisle od zapisu.

A rovnako nerozumiem co tvrdis, co to je velkost cisla ? A potom zase ze nekonecny zapis nema nejaku vlastnost. Ved to tvrdis na zaciatku ze realne cisla mozeme zapisat v ich nekonecnom rozvoji. Tak mozeme ci nemozeme ?

Problem je podla mna stale jeden a ten isty, bud existuje nekonecna mnozina a potom existuje aj nekonecna postupnost a dalsie tvrdenia co som spominal su pomerne lahko odvoditelne alebo neexistuje a existuju len konecne mnoziny. A nekonecno je len pomocny pojem, ktory hovori ze to nema hranicu. Ale nemozes sa zastavit na polceste, bud prijmes axiom o tom ze existuje nekonecna mnozina a toto su dosledky alebo ho neprijmes a potom ziadne porovnacanie nekonecien sa nekona.

Problem je podla mna stale jeden a ten isty, bud existuje nekonecna mnozina a potom existuje aj nekonecna postupnost a dalsie tvrdenia co som spominal su pomerne lahko odvoditelne alebo neexistuje a existuju len konecne mnoziny.

pri bijekcii pracuješ s nekonečnom ako potenčným. A pri teorii množín más aktuálne nekonečno, čo je úplna množina celých čísiel.

Ak urobíš zas bijekciu medzi celými a racionálnymi, tak znova si porovnával tie množiny iba potencne. A koniec koncov dal som tu odkazy na godelove vety kde cantorova diagonala vytvára spor ako Epimenidov paradox.

robopol, to su pojmy z filozofie, viem co tym chces povedat ale nie je to matematika. Bijekcia je zobrazenie, bud existuje alebo nie.

Potencne ma vyznam pri limite, kde mozes hovorit ze cislo rastie potecne do nekonecna ale toho sa matematika zbavila.

Ostava tak len to co mu hovoris aktualne nekonecno. A s nim mas problem.

A odkaz na knihu co si dal, nuz ako to povedat :), nie je to celkom matematika. Cantorovo ponatie mnozin taketo paradoxy nevytvara, a kniha ide presne smerom kam ja nejdem. Ak v matematickom dokaze uvazujes ci Boh vytvoril nekonecno a dokazujes to nim, to je mimo mojej oblasti.

Kniha je dobra, a nie je filozoficky zameraná. Matamatika bola uzko prepojena kedysi aj s naboženstvom a filozofiou, takže tu ide iba o historiskú nadväznosť. Godelove vety a paradoxy , ktore tam su uvedene nie su vymyslene. A tak je problém nie v publikacii ale v tvojej vedomosti ako co s cim suvisi.

Význam potencionálneho nekonecna je rozdielny od pojmu aktualneho. A tu nejde s cim mam ja problém, ale to k akým problémom vedie cantorove ponatie mnozin a vedie k paradoxom a to nie je o Bohu.

a vedie ? :)

za prve v knihe sú tvrdenia ktore su sporne, godelova veta o neuplnosti hovori prave o tom ze kazdy konecny axiomaticky system je neuplny a ze danom modeli mas nutne vety, ktore nevies dokazat ani vyvratit. Co si dokazal prave konstrukciou takehoto tvrdenia.

Nie je to teda ziadne intuitivne tvrdenie.

rovnako pouzitie Skolemoveho paradoxu je podivne, kedze ten tvrdi nieco ine. Hovori ze ak mas spocitalnu mnozinu, tak eixstuje aj model ( teda axiomy plus operacie ) v ktorom je nespocitalna co znamena ze neexistuje bijekcia na prirodzene cisla. Co je v poriadku, kedze si zuzil povolene relacie. Paradox je to len v tom ze spocitalnost zavisi od modelu a nie je teda nutne "absolutna".

Rovnako spomina paradoxy, ktore v dnesnej teorii mnozin neexistuju, nie vsetko su mnoziny, existuju aj triedy. A nie je mozne aby o tom nevedel. Ak teda vyvracia povodnu intuitivnu teoriu mnozin z cias Cantora, tak striela na davno ulovene zviera.

A este raz zopakujem : Nevadi mi ked niekto filozofuje o nekonecne, realite a bohu. A potom je urcite dobre vediet aj nazory na aktualne a potencialne nekonecno. A ak to vedie k niecomu zaujimavemu, tak to OK.

Ale matematika ho nepotrebuje, mnozina prirodzenych cisel je nekonecna "aktualne" a teda predpokladame jej existenciu, znamena to ze platia vsetky dalsie axiomy teorie mnozin. To sa neda odvodit z nicoho ineho, mozes si filozoficky zdovodnit preco tam chces takyto axiom ale od okamziku ked ho prijmes, tak mu nemusis dodavat ziadne dalsie privlastky.

A to ze autor ma problem s takymto ponatim je tiez v poriadku, nejde o natolko intuitivny axiom aby jeho zaradenie bolo zrejme. Moze sa teda opriet o ine teorie mnozin, ktore ho nemaju. Ale nie je v poriadku ak sa ho snazi vyvratit nepravdivo.

A aby som to este doplnil, tvrdis ze bijekcia je akasi potencialna, tak sa pozrime na bezne priklady. Urobime bijekciu z R do R a to trivialnou funkciou, y = x. To je klasicka bijekcia, co je na nej potencialne ? kazdemu cislu z jednej mnoziny pridelime cislo z druhej a naopak, ziadne pochybnosti ze to nedokazes pre vsetky cisla nemas. K comu by bol dobre uvahy ze je to len akesi potencialne zobrazenie a nie aktualne ?

rovnako ked mam funkciu ktora zobrazuje racionalne cisla do prirodzenych, co je na tejto funkcii potencialne ?

Ty si sa zasekol niekde inde, vytvaras algoritmy, ktore v ziadnom case neskoncia a mas pocit ze to je spor. Ale v com ?

Ty nie len, že si sa rozhodol, že moje tvrdenia su nesparvne, rozhodol si sa, že autor popisuje svoje pocity filozoficke. Nie najdi si spomenute clanky, alebo si precitaj celu publikaciu, lebo sa vyjadrujes k niecomu co si ani neprecital, len nahliadol.

Tam autor nehovori o svojich dojmoch ale o tom ake boli vyhrady a a k akým paradoxom neskor cantorove mnoziny prisli. Precitaj si to, dal som ti odkazy, ty budes stale tvrdit ze nie su tam paradoxy a v knihe su popisane paradoxy, no nie autorove ale matematikov.

A taktiež tam najdes aj rozdiel medzi aktualnym a potencialnym nekonecnom.

precital som neboj :)

A preto pisem ze autor zamlciava viac ako hovori aby podporil svoje tezy. Paradoxy sa stali vychodiskom pre axiomaticke budovanie teorie mnozin a tie ( napriklad NBG+AS ) zabranuju podobnym paradoxom. Dosledky maju rovnake ako mali u Cantora ale neumoznuju vytvarat paradoxy.

A kedze ja neviem, tak mi povedz ktore axiomy sa tykaju potencialneho nekonecna, ja take nepoznam. Pripadne mi to definuj nech s tym vieme pracovat. Napriklad tvrdis ze porovnavat mnoziny mozes iba potencne, tak mi to dokáž.

Ja ani netusim co by to malo znamenat,

z knihy (ak vynecham uvahy ze aktualne nekonecno je Boh )

Naše porozumenie pre prirodzené nekonečno je teda porozumením pre nekonečno uskutočnené, t. j. aktuálne.

Chápat prirodzené nekonečno ako potenciálne môžeme leda dovtedy, kým nedôjde k oddialeniu príslušného obzoru. Aktualizácia

potenciálneho prirodzeného nekonečna tak tesne súvis s oddialením obzoru, čím sa však pôvodne nekonečné dotvára a stáva konečným.

A len tak bokom, kedze tvrdis ze ide o matematicku knihu :)

Čitatel, ktorý pozorne sledoval naše úvahy od začiatku až sem, je už určite vyškolený natolko, že bude i sám schopný

nájst presvedčivé teologické argumenty tak v prospech hypotézy kontinua, ako aj jej negácie. Návod nájde v predposlednom

odstavci predchádzajúcej kapitoly.