Pomôžte mi počítať

nerozumiem zadaniu....

ak kapitán rozdelil kopu na 5 častí a jedna minca mu zvýšila, a tú odhodil, čo delil prvý dôstojník(keď zvyšok už nebol)? Delil ten zbytok, tých 5/4 bez jednej mince?

Možno som to nenapísal dosť zrozumiteľne:

Uvediem príklad (samozrejme to nie je dobré riešenie):

Na začiatku bolo 46 mincí. Kapitán to rozdelil na 5 kôp po 9 a jednu mincu zahodil. Vzal si 9 a prvý dôstojník delil zvyšných 36 mincí. Rozdelil ich na pätiny po 7 a jednu zahodil. Vzal si 7 a pre tretieho nechal 28...

1/

Pomalinky si pozerám aj staršie úlohy a našiel som niečo podobné, ale s rybármi a rybami - strana 52 úloha 1289. Riešenie bolo získané asi systémom pokus-omyl, čo v tomto prípade "neprichádza do úvahy". Dá sa ale pomôcť Excelom (bežný užívateľ by mal získať výsledok za pár minút), prípadne programovaním (??? - nebite ma...). Ide to samozrejme aj analyticky a nie je to nijako zvlášť ťažké (na úrovni ZŠ).

2/

Pri čítaní starších úloh som registroval viackrát "náhodné" riešenia aj v prípade, že existujú jednoduché explicitné riešenia (väčšinou formou rovníc, resp. sústavy rovníc). Myslíte si, že by stálo za to doplniť ich? Možno by nám to pomohlo pri riešení ďalších podobných úloh, podobne ako nám (mne určite) pomohol Tyso s periodickými zlomkami, Alarm s autíčkami...

a teraz nieco z vyssej matematiky,   uz tu bol vzorec ze   e  EXP ( i . pi ) = -1,     kto dokaze vycislist vyraz i exp (i)  ,  i je odmocnina z -1.

exp(i.x)=cos x + i. sin x (Už to na fóre niekedy bolo...)

i exp(i)=i(cos(1) + i.sin(1))=-sin(1) + i. cos(1)   [1 je v radiánoch],

resp. číselne cca -0,841 + 0,540 i

Je to komplexné číslo.

skúšal som mince...

postavil som si rovnice, z neznámymi A, B ,C, D, E, F, kde F bol podiel posledného.

dosadzoval som a na koniec som dostal nejakú rovnicu. kde neznáme bol pôvodný počet mincí A = k * F

hladal som celé čislo,.... nenašiel, asi mám zle postavené rovnice.....

Predpokladám, že B-E sú podiely prvého až štvrtého a A celkový počet mincí. Ja som urobil závislosť B od F a vyšlo mi to v tvare

B=(kF + l)/m , kde k,l,m sú celočíselné konštanty a úpravou zlomku sa dá ľahko nájsť celé F. Je to ale trojciferné číslo.

zobracka, niekde mas chybu, výsledok je realne cislo

Je to už pár desaťročí, čo sme takéto veci riešili v škole, ale skúsil som to inak a s rovnakým výsledkom (p je Ludolfovo číslo):

i. exp(i)= exp(i. p/2) . exp(i) = exp(i. (p/2+1))=cos(p/2+1)+isin(p/2+1)=... súčtové vzorce...= -sin(1)+i. cos(1)

Netuším, kde mám chybu?! Asi si to musím celé znova naštudovať...

tak pomocka

e exp (i. pi ) = -1, cele to odmocnim  a mam e exp ( i. pi/2)  =  i , a ked to cele umocnim na i,    mam e  exp ( - pi/2)   = i exp (i).    a po kratkej uprave je to 1/ ( e exp sqrt (pi )  )

Tak som našiel chybu - resp. nezrovnalosť. Ja píšem exponenciálnu funkciu "e na x-tú" ako som zvyknutý z excelu, či z programátorských jazykov ako exp(x). Ty ju píšeš ako e exp(x). Takže ja som počítal výraz "i krát e na i-tu" namiesto "i na i-tu".

i.eⁱ <> iⁱ

Ty píšeš:

...mam e  exp ( - pi/2)   = i exp (i).    a po kratkej uprave je to 1/ ( e exp sqrt (pi )  )

tá krátka úprava je zbytočná, veď hľadaný výraz už je na pravej strane a výsledok na ľavej!

e^-p/2=iⁱ

zdá sa mi, že tento príklad ešte nebol vypočítaný

5 pirátov si delilo mince. Kapitán rozdelil kopu na 5 rovnakých častí, pričom mu jedna minca zvýšila. Tú hodil pre šťastie do mora a zobral si jednu časť, teda 1/5. Potom prvý dôstojník rozdelil zvyšok na 5 rovnakých častí, zase mu jedna minca zvýšila a hodil ju do mora. Zobral si tiež jednu pätinu ale už len z toho, čo nechal kapitán. Presne takto to pokračovalo aj ďalej až po piateho piráta, ktorý jednu mincu hodil do mora a pätinu z toho, čo ostalo po štvrtom pirátovi si nechal. Zvyšné mince si piráti odložili. Najmenej koľko mincí bolo na začiatku pred delením?

v príspevkoch č. 1957 a 1958 sú k nemu pripomienky ... : )

--------------

zatiaľ kým veľkí matematici premýšľajú, pre stredoškolákov trochu čokoládkového rozptýlenia : ) :

Gentleman... Rozdával prvý, hoci mal menej...

zostáva pirátsky príklad,

a

zobracka,

prosím pekne, keď už si napísal a, napíš aj b, ... prosíme celé riešenie a postup, srdečná vďaka, dáme potom ďalší príklad   :klobuk:

Chcel som to nechať na riešenie ďalším. Opäť je to príklad, ktorý sa dá riešiť sústavou dvoch rovníc o dvoch neznámych, ale jednoduchšie je to počítať odzadu:

 M  J

  9     9

12     6

  6   12

  8   10

takže zostávajú piráti,

a ešte 2 príkladíky pre počtárov z akejsi olympiády :) :

5 pirátov si delilo mince. Kapitán rozdelil kopu na 5 rovnakých častí, pričom mu jedna minca zvýšila. Tú hodil pre šťastie do mora a zobral si jednu časť, teda 1/5. Potom prvý dôstojník rozdelil zvyšok na 5 rovnakých častí, zase mu jedna minca zvýšila a hodil ju do mora. Zobral si tiež jednu pätinu ale už len z toho, čo nechal kapitán. Presne takto to pokračovalo aj ďalej až po piateho piráta, ktorý jednu mincu hodil do mora a pätinu z toho, čo ostalo po štvrtom pirátovi si nechal. Zvyšné mince si piráti odložili. Najmenej koľko mincí bolo na začiatku pred delením?

Aby sme trochu pokročili aj pri riešení tohto príkladu, prikladám náčrtok, kde som sa pokúsil písať postupne výrazy smerom od konca po začiatok delenia mincí.

Nakoniec mi vyšiel výraz M = (2101 + 3125 . K)/ 256 

K = Konečný počet mincí, ktorý si ponechal posledný pirát a M = Počet mincí na začiatku delenia.

Po vložení vzorca M = (2101 + 3125 . K)/ 256  do EXCELU, kde som do riadkov so vzorcom zadal čísla K = 1 až K =1000,  mi vyšlo najmenšie číslo K = 255, 

kedy je možné deliť mince bez toho, aby pri delení vychádzali desatinné čísla.

Na začiatku delenia, v tom prípade musel byť počet mincí M = 3121

​Bez Excelu by som to nevedel určiť. Možno sa to niekomu podarí aj iným postupom bez takejto pomoci.

(Game, keďže veľkí matematici, ktorých si asi mala na mysli v príspevku 1962, ako Euler, Pascal a Newton už nepomôžu nám obyčajným smrteľníkom v tomto fóre, možno sa zmieriš s našimi nemotornými krokmi pri riešení ťažkých  úloh :) .) 

len malililinkú poznámku.

Piaty pirát najprv odhodil mincu do mora a potom delil piatimi, takže 4A=1 +4K+1K

Ale tí pred ním, najskôr delili piatimi a zvyšok bolo nejaké číslo +1....

Ja v tom vidím rozdiel....

Všetci piráti to robili rovnako. Po delení piatimi im jedna minca zvýšila. Bohuš, máš to správne.

Vždy obdivujem tvoje "polopatistické" riešenia, ktoré by mal pochopiť naozaj každý.

Ja som to rátal obecne a potom by to mohlo byť takto (P₁ je suma, ktorú dostane prvý pirát ...P₅ piaty pirát, obecne P_i - i-ty pirát)

P_i-1=(5*P_i  +1)/4, resp. P_i+1=(4*P_i  -1)/5. Ak P₅=k, potom po úpravách P₁=(625k+369)/256

Vyšiel rovnaký vzťah ako Bohušovi pri 1D. Ten sa dá upraviť:

=[(512+113)k+256+113] /256 = 2k+1+113*(k+1)/256, teda k=255 a odtiaľ už ľahko N=3121

"Asi 2000 rokov pred naším letopočtom bol na dvore faraóna Amenemhata III. ako kráľovský pisár a matematik zamestnaný Ahmes. V roku 1853 objavil Angličan Rhind v blízkosti chrámu Ramsesa II. v Thébach jeden Ahmesov papyrus. Papyrus má tvar pásku širokého 33 cm a dlhého viac než 5 m. Obsahuje okrem iného i nasledujúcu úlohu.
Sto mier zrna je treba rozdeliť piatim robotníkom tak, aby druhý robotník dostal o toľko mier viac než prvý, o koľko tretí dostal viac než druhý, štvrtý než tretí a piaty než štvrtý. Prví dvaja robotníci majú dostať sedemkrát menej mier zrna než ostatní traja. Koľko mier zrna má dostať každý robotník?"

Bohus, klobúk dolu pred tvojim riešením príkladov. :klobuk:

To nie je iba + - * : , ale prehľadne napísané riešenie.

https://www.freespace.sk/tema/2632-pomôžte-mi-počítať/?p=208867

Ale áno, som presvedčená, že tu game medzi tými veľkými matematikmi na Fóre myslela aj teba,

niektorí ste tu úplne iný level;

... my ostatní občas iba pozeráme s otvorenou pusou a hádam ani netušíme čo to tu píšete. :smile2:

Keďže sme už tesne pred bránami OH ... tak chytro ešte aj tu príklady z olympiády: :smile2:

https://www.freespace.sk/tema/2632-pomôžte-mi-počítať/?p=208830

Priemerná cena čokolád bola 19,70 korún

za všetky čokolády by teda pri priemernej cene chlapci zaplatili 19,70*5 = 98,50 korún

Ak by čokolády kupovali za školou, za všetky čokolády by zaplatili

98,50 + 6,50 = 105 ... > jedna čokoláda by stála 21.- korún

Ak by čokolády kupovali oproti škole, za všetky čokolády by zaplatili

98,50 - 6 = 92,50 ... > jedna čokoláda by stála 18,50 korún

Cena čokolády v bufete

98,50 – /21*2 + 18,50*2/ = 19,50 korún

__________________________________

1/ Žiacky oddiel karate má dvakrát viac chlapcov ako dievčat. Na preteky je potrebné zostaviť jedno družstvo dievčat a rovnako početné družstvo chlapcov. Do družstva chlapcov sa nedostane 12 chlapcov, ale naopak do družstva dievčat jedno dievča chýba.

Koľko členov má žiacky oddiel?

2/ Aká je výška lichobežníka EFGH, ktorý má obsah 110 cm² a základne majú dĺžku e=8 cm, g=14 cm?

/toto je tak ľahký príklad, že možno bude vyzerať ako chyták; ale nie je .../

Po pár dňoch matematického oddychu možno nezaškodí znova sa pokúsiť čosi vyrátať  :) :

Riešenie, príklad 1:

Počet chlapcov 2x viac ako dievčat : M = 2 . D

Počet členov družstva dievčat a družstva chlapcov je rovnaký : M - 12 = D – 1

Po dosadení: 2 . D – 12 = D – 1

Počet dievčat D = 11, počet chlapcov M = 22, počet členov družstva D - 1 = 10

Riešenie príklad 2:

Obsah lichobežníka S = výška . (a+b)/2  , 110 = v . (8+14)/2

Výška v = 110/11 = 10 cm

Riešenie príkladu z Ahmesovho papyrusu:

Mzdu prvého robotníka môžeme označiť napríklad M. Sumu, o ktorú sa líši mzda prvého robotníka od druhého, označíme D.  O túto sumu D sa líšia aj mzdy ostatných ďalších robotníkov navzájom. Mzda všetkých dokopy je 100 mier zrna. Platí rovnosť:

100 = M + (M+D) + (M + 2D) + (M+ 3D) + (M+4D)
Súčasne platí že, prvý dvaja majú spolu 7x menej, ako ostatní traja:

(M + M + D) . 7 = (M + 2D) + (M+ 3D) + (M+4D)

Po úprave: 100 = 5M+10D, 14M + 7D = 3M + 9D

Mzda piatich robotníkov budú takéto zlomky miery: 10/6, 65/6, 120/6, 175/6, 230/6 

Pridám jeden príklad z geometrie, kde treba vyrátať plochu trojuholníka na obrázku. Predstavme si, že z okrúhleho valca salámy priemeru 10 cm šikmo odrežeme kúsok, ktorý siaha do polovice toho valca.  Rezať začneme 5 centimetrov od kraja salámy.  Z toho kúska odrežeme tiež kúsok rezom vzdialeným od kraja 2 cm. Vznikne pravouhlý trojuholník, ktorého plochu treba vypočítať:

1/

Malá chybička (takéto robím bežne aj ja...) pri čítaní zadania a následne aj v riešení karatistov:

dievča jedno chýbalo, teda v rovnici by malo byť M - 12 = D + 1

Následne D=13, M=26 a počet členov družstva 14. Postup je samozrejme dobrý.

2/

"Červený" trojuholník je rovnoramenný:

rez-trojuholník cez stred kruhu by mal obe odvesny 5cm (polomer R aj výška v valca sú 5cm)

a náš rez-trojuholník je rovnobežný s rezom cez stred kruhu (m je rovnobežné s R)

Obsah hľadaného trojuholníka S = m*m/2.

Veľkosť m spočítame najľahšie z Euklidovej vety (musel som si ju pre istotu overiť aj ja...),

kde v pravouhlom trojuholníku platí v_c²  =c_a *c_b     

v_c je výška na preponu, c_a časť prepony pod stranou a, c_b časť prepony pod stranou b

Pravouhlý trojuholník dostaneme na základe Thalesovej vety nad priemerom kruhu.

Potom teda m²=(10-2)*2 a odtiaľ m=4

Napokon S=4*4/2=8cm²

Zobracka, máš pravdu, ten príklad týkajúci sa vytvorenia družstiev som veľmi ledabolo prečítal, tak výsledok aj tak vyzerá.  Pokiaľ ide o šikmý odsek z valca, tak tvoj výpočet je iste správny. Som sa poučil , že tá zaujímavá vlastnosť m² = (D-x) . x sa nazýva Thalesova veta. Len pred pár dňami som si v mojej knižke matematiky všimol, že autor použil tento spôsob výpočtu v jednom príklade. Už si ani nespomínam, či niekedy sme sa to učili.

Kto má záujem, ešte môže porozmýšľať, ako vypočítať iné alternatívne  plôšky rezov toho útvaru z predošlého príkladu. Bude zaujímavé napísať aj vzorce, kde bude vyjadrená Plocha S ako funkcia x, kde x môže nadobúdať hodnoty od nuly až po hodnotu polomeru R, alebo D/2.

Tento vzorec je vhodné napísať pre všetky tri nakreslené prípady rezov tohto útvaru oddeleného z valca. Totiž, jeden z týchto vzorcov bude veľmi vhodný ako základ pre určenie objemu tohto útvaru. Tento príklad je v mojej knižke matematiky a mne sa podarilo napísať vzorce pre tie dve alternatívy, kde som integrál nedokázal vypočítať. Až vzorec pre tretí rez  z týchto rezov nakreslených na priložených obrázkoch bol taký, kde sa nakoniec aj mne po krvopotnom úsilí a s pomocou učebnice podarilo určiť vzorec pre objem na základe vzorca pre plochu S.

Otázka teda je, ktorý rez umožní najjednoduchší výpočet objemu toho útvaru oddeleného šikmým rezom z valca ? Možno niekto dokáže bez ťažkostí vypočítať integrál, čiže objem, na základe vzorcov pre plochu S pre všetky tri alternatívy.

Ostaňme zatiaľ pri výpočte plôch S (červené útvary) v závislosti od x a od R.

To ide spočítať so základnými znalosťami kruhu, resp. so základnými goniometrickými funkciami (sin, cos)

Objemy sú veľkou výzvou...